Dane:

$m=0,2\text{kg}$

$r=3,2\text{cm}=0,032\text{m}$

$l=1\text{m}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

 

$\mathbf{a})$

Dane w podpunkcie:

$h=30\text{cm}=0,3\text{m}$

Szukane:

$v=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości prędkości liniowej walca, na który został nawinięty sznurek, po tym jak część sznurka się rozwinęła. W treści zadania nie mamy podane, która siła sprawia, że sznurek się odwija. Zakładamy zatem, że sznurek odwija się, ponieważ walec opada. Wówczas początkowo walec znajduje się na pewnej wysokości nad podłożem, czyli posiada energię potencjalną ciężkości. 

ENERGIA POTENCJALNA PRZY POWIERZCHNI ZIEMI Energię potencjalną ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru: $E_p=mgh$  gdzie: $E_p$  - energia potencjalna ciała, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, $h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy.

Początkowo jest on nieruchomy, dlatego jego energie kinetyczne (ruchu postępowego i obrotowego) są zerowe. Zatem:

$E_{p.0}=mgh$

$E_{k.p.0}=0$

$E_{k.obr.0}=0$

gdzie:

$E_{p.0}$ - początkowa energia potencjalna walca, 

$E_{k.p.0}$ - początkowa energia kinetyczna w ruchu postępowym walca, 

$E_{k.obr.0}$ - początkowa energia kinetyczna w ruchu obrotowym walca.

Sznurek rozwija się. Zakładamy, że po odwinięciu środek ciężkości walca znajduje się w najniższym możliwym położeniu, czyli:

$E_{p.1}=0$

gdzie:

$E_{p.1}$ - energia potencjalna ciężkości walca po rozwinięciu sznurka. 

W wyniku odwijania się sznurka walce nabiera szybkości liniowej. 

ENERGIA KINETYCZNA Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru: $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$ gdzie: $E_k$ - energia kinetyczna ciała,  $m$ - masa ciała,  $v$ - wartość prędkości, z jaką ciało się porusza.

Zatem dla naszego przypadku mamy:

$E_{k.p.1}=\frac{1}{2}m{v}^2$

gdzie:

$E_{k.p.1}$ - energia kinetyczna w ruchu postępowym walca gdy sznurek się rozwinie. 

Walec obraca się w czasie rozwijania sznurka, czyli posiada również szybkość kątową. 

ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO Energię kinetyczną bryły w ruchu obrotowym możemy przedstawić za pomocą wzoru: $E_{k.obr}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$  gdzie: $E_{k.obr}$ - energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej,   $I$ - moment bezwładności bryły,  $\omega$ - wartość prędkości kątowej bryły względem przyjętej osi obrotu.

Zatem:

$E_{k.obr.1}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

gdzie:

$E_{k.obr.1}$ - energia kinetyczna ruchu obrotowego walca po odwinięciu się sznurka. 

Szukamy szybkości liniowej, dlatego potrzebujemy za jej pomocą przedstawić szybkość kątową.

SZYBKOŚĆ KĄTOWA A LINIOWA Zależność szybkości kątowej od szybkości liniowej przedstawiamy wzorem: $\omega =\frac{v}{r}$ gdzie: $\omega$ - szybkość kątowa,  $v$ - szybkość liniowa,  $r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Mamy do czynienia walcem. 

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - WALEC Moment bezwładności jednorodnego walca obracającego się względem swojej osi symetrii ma postać: $I=\frac{1}{2}m{r}^2$ gdzie: $I$ - moment bezwładności walca, $m$ - masa walca,  $r$ - promień walca.

Korzystając z zasady zachowania energii oraz powyższych zależności możemy zapisać równanie, z którego wyznaczymy wartość prędkości liniowej walca w chwili, gdy sznurek się odwinie:

$E_{p.0}+E_{k.p.0}+E_{k.obr.0}=E_{p.1}+E_{k.p.1}+E_{k.obr.1}$

$mgh+0+0=0+\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2$

$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}m{r}^2\cdot {\left(\frac{v}{r}\right)}^2$

$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{4}m\cancel{r^2}\cdot \frac{v^2}{\cancel{r^2}}$

$mgh=\frac{2}{4}m{v}^2+\frac{1}{4}m{v}^2$

$\sout{m}gh=\frac{3}{4}\sout{m}{v}^2|\cdot \frac{4}{3}$

$\frac{4}{3}gh=v^2$

$v^2=\frac{4}{3}gh|\sqrt{}$

$v=\sqrt{\frac{4}{3}gh}$

$v=2\sqrt{\frac{gh}{3}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=2\cdot \sqrt{\frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,3\text{m}}{3}}=$

$=2\cdot \sqrt{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,1\text{m}}=$

$=2\cdot \sqrt{0,981\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx$

$\approx 2\cdot 0,99\frac{\text{m}}{\text{s}}=1,98\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 2\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Wartość prędkości liniowej walca w chwili, gdy sznurek odwinie się o $h=30\text{cm}$ wynosi około $2\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

 

$\mathbf{b})$

Szukane:

$\epsilon =?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości przyspieszenia kątowego zabawki. Zabawka składa się ze sznurka nawiniętego na walec. Sznurek się rozwija w wyniku czego zabawka nabywa pewną szybkość, a zatem posiada przyspieszenie. 

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA Korzystając z definicji przyspieszenia, wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru: $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ gdzie: $a$ - wartość przyspieszenia, $\Delta v$ - zmiana szybkości ciała, $\Delta t$ - czas, w jakim zmienia się szybkość.

Początkowo zabawka była nieruchoma, czyli zmiana jej szybkości odpowiada końcowej szybkości, jaką osiągnęła zabawka w wyniku ciągnięcia sznurka. Zakładamy, że czas trwania ruchu jest liczony odkąd sznurek zaczął się rozwijać. Dlatego:

$\Delta v=v$

$\Delta t=t$

Stąd wynika, że czas ruchu walca to:

$a=\frac{v}{t}|\cdot t$

$at=v|:a$

$t=\frac{v}{a}$

Długość, o jaką rozwinął się walec odpowiada drodze przebytej przez walec. 

DROGA W RUCHU JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONYM Drogę, jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym, przedstawiamy za pomocą wzoru: $s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ gdzie: $s$ - droga przebyta przez ciało, $v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała,  $a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało,  $t$ - czas ruchu ciała.

Ponieważ szybkość początkowa jest zerowa to otrzymamy:

$h=\frac{1}{2}a{t}^2$

Wówczas z tego wzoru możemy wyznaczyć wartość przyspieszenia liniowego:

$h=\frac{1}{2}a\cdot {\left(\frac{v}{a}\right)}^2$

$h=\frac{1}{2}\cancel{a}\cdot \frac{v^2}{a^{\cancel{2}}}$

$h=\frac{v^2}{2a}|\cdot a$

$ah=\frac{v^2}{2}|:h$

$a=\frac{v^2}{2h}$

Wiemy, że $v=2\sqrt{\frac{gh}{3}}$, czyli:

$a=\frac{{\left(2\sqrt{\frac{gh}{3}}\right)}^2}{2h}$

$a=\frac{4\cdot \frac{g\cancel{h}}{3}}{2\cancel{h}}$

$a=\frac{2g}{3}$

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA KĄTOWEGO A LINIOWEGO Przyspieszenie kątowe w zależności od przyspieszenia liniowego przedstawiamy wzorem: $\epsilon =\frac{a}{r}$ gdzie: $\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego,  $a$ - wartość przyspieszenia liniowego,  $r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Stąd wynika, że:

$\epsilon =\frac{a}{r}$

$\epsilon =\frac{\frac{2g}{3}}{r}$

$\epsilon =\frac{2g}{3r}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\epsilon =\frac{2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{3\cdot 0,032\text{m}}=\frac{19,62\frac{\cancel{\text{m}}}{{\text{s}}^2}}{0,096\cancel{\text{m}}}=$

$=204,375\frac{1}{{\text{s}}^2}\approx 204\frac{1}{{\text{s}}^2}$

Odpowiedź: Wartość przyspieszenia kątowego wynosi około $204\frac{1}{{\text{s}}^2}$.