$\mathbf{a})$

Naszym zadaniem jest wyznaczenie momentu bezwładności pręta względem osi, która jest równoległa do osi przechodzącej przez jego środek, ale przechodzi przez koniec pręta. Z treści zadania wiemy, że moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego środek masy ma postać:

$I_0=\frac{m{l}^2}{12}$

gdzie:

$I_0$ - moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego środek masy, 

$m$ - masa pręta, 

$l$ - długość pręta. 

Zauważmy, że:

gdzie:

$O$ - oś obrotu pręta względem osi przechodzącej przez jego środek, 

$O^{\prime }$ - oś obrotu pręta względem osi przechodzącej przez jego koniec. 

TWIERDZENIE STEINERA Jeśli znany jest moment bezwładności $I_0$ względem osi przechodzącej przez środek masy ciała, to korzystając z twierdzenia Steinera, otrzymujemy, że moment bezwładności bryły sztywnej względem innej osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy możemy przedstawić wzorem: $I=I_0+m{d}^2$ gdzie: $I$ - moment bezwładności bryły sztywnej względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy, $I_0$ - znany moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy tej bryły,  $m$ - masa tej bryły,  $d$ - odległość pomiędzy osią przechodzącą przez środek masy a równoległą do niej.

Z rysunku wynika, że:

$d=\frac{1}{2}l$  

Zatem dla naszego przypadku moment bezwładności pręta względem osi $O^{\prime }$ będzie miał postać:

$I=I_0+m{d}^2$

$I=\frac{m{l}^2}{12}+m\cdot {\left(\frac{1}{2}l\right)}^2$

$I=\frac{m{l}^2}{12}+m\cdot \frac{1}{4}{l}^2$

$I=\frac{m{l}^2}{12}+\frac{m{l}^2}{4}$

$I=\frac{m{l}^2}{12}+\frac{3m{l}^2}{12}$

$I=\frac{4m{l}^2}{12}$

$I=\frac{m{l}^2}{3}$

Moment bezwładności pręta względem osi, która przechodzi przez jego koniec ma postać: $I=\frac{m{l}^2}{3}$.

 

$\mathbf{b})$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest obliczenie ile razy zwiększy się moment bezwładności pręta, gdy rozważymy oś przechodzącą przez niego w odległości $\frac{1}{3}l$ od jednego z końców, a na końcach pręta umieszczamy ciężarki, każdy o masie $m$. Wiemy, że moment bezwładności pręta względem nowej osi wynosi:

$I^{\prime }=\frac{1}{9}m{l}^2$

Obliczamy moment bezwładności pręta względem osi znajdującej się w odległości $\frac{1}{3}l$  od końca pręta, na którym po obu stronach umieszczono ciężarki o masie $m$, które traktujemy, jak punkty materialne. Zauważmy, że:

Całkowity moment bezwładności układu pręta połączonego z ciężarkami będzie równy sumie momentów bezwładności samego pręta i każdego z ciężarków.

$I_u=I^{\prime }+I_{p.l}+I_{p.p}$

gdzie:

$I_u$ - moment bezwładności układu pręta i ciężarków,

$I$ - moment bezwładności pręta,

$I_{p.l}$ - moment bezwładności lewego ciężarka,

$I_{p.p}$ - moment bezwładności prawego ciężarka.

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - PUNKT MATERIALNY Moment bezwładności ciała punktowego obracającego się wokół pewnej osi ma postać: $I=m{r}^2$ gdzie: $I$ - moment bezwładności punktu materialnego, $m$ - masa ciała, $r$ - odległość ciała od osi obrotu.

W naszym przypadku dla ciężarka po lewej stronie moment bezwładności będzie miał postać:

$I_{p.l}=m{\left(\frac{1}{3}l\right)}^2$  

$I_{p.l}=\frac{m{l}^2}{9}$  

Dla ciężarka po prawej stronie moment bezwładności będzie postać:

$I_{p.p}=m{\left(l-\frac{1}{3}l\right)}^2$  

$I_{p.p}=m{\left(\frac{2}{3}l\right)}^2$  

$I_{p.p}=\frac{4m{l}^2}{9}$  

Korzystając z addytywności momentów bezwładności otrzymujemy, że momentu bezwładności układu względem osi $O^{\prime }$ ma postać:

$I_u=I^{\prime }+I_{p.l}+I_{p.p}$  

$I_u=\frac{m{l}^2}{9}+\frac{m{l}^2}{9}+\frac{4m{l}^2}{9}$  

$I_u=\frac{6m{l}^2}{9}$  

Stąd wynika, że stosunek momentów bezwładności pręta z ciężarkami, do pręta bez ciężarów ma postać:

$\frac{I_u}{I^{\prime }}=\frac{\frac{6m{l}^2}{9}}{\frac{m{l}^2}{9}}$

$\frac{I_u}{I^{\prime }}=\frac{6m{l}^2}{9}\cdot \frac{9}{m{l}^2}$

$\frac{I_u}{I^{\prime }}=6$

 Odpowiedź: 

Moment bezwładności pręta z umieszczonymi ciężarkami:

C. zwiększy się $6$ razy.