Dane:

$l=1\text{m}$  

$m=0,5\text{kg}$  

Szukane:

$I=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie momentu bezwładności bramki względem osi obrotu zaznaczonej na rysunku. Skorzystamy z addytywności momentów bezwładności, czyli tego, że możemy dodać momenty bezwładności wszystkich elementów, z jakich składa się bramka. 

Otrzymujemy zatem równanie:

$I=I_1+I_1+I_2$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności całego układu, 

$I_1$ - moment bezwładności rurki prostopadłej do osi obrotu, 

$I_2$ - moment bezwładności rurki równoległej do osi obrotu.

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - PRĘT Moment bezwładności jednorodnego pręta obracającego się względem osi przechodzącej przez jego koniec możemy przedstawić wzorem: $I_1=\frac{1}{3}m{l}^2$ gdzie: $I_1$ - moment bezwładności pręta,  $m$ - masa pręta,  $l$ - długość pręta.

W zadaniu mamy jeden pręt równoległy do osi obrotu i odległy o $l$ od osi obrotu. Pręt ten jest cienki i pomijamy jego grubość. Możemy więc traktować go jako zbiór punktów materialnych o pewnej masie $m$.

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - PUNKT MATERIALNY Moment bezwładności ciała punktowego obracającego się wokół pewnej osi ma postać: $I=m{r}^2$ gdzie: $I$ - moment bezwładności punktu materialnego, $m$ - masa ciała, $r$ - odległość ciała od osi obrotu.

Stąd wynika, że:

$I_2=m{l}^2$

Wówczas całkowity moment bezwładności układu ma postać:

$I=I_1+I_1+I_2$

$I=2I_1+I_2$

$I=2\cdot \frac{1}{3}m{l}^2+m{l}^2$

$I=\frac{2}{3}m{l}^2+m{l}^2$

$I=\frac{5}{3}m{l}^2$

Wykonajmy obliczenia:

$I=\frac{5}{3}\cdot 0,5\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}\right)}^2=$

$=\frac{5}{3}\cdot 0,5\text{kg}\cdot 1{\text{m}}^2\approx$

$\approx 0,83\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$

Odpowiedź: Moment bezwładności bramki wynosi około $0,83\text{kg}\cdot {\text{m}}^2$.