Dane:

$r_{\text{J}}=7700\text{km}=7,7\cdot 10^3\text{km}$

$v_{\text{J.Z}}=7,2\frac{\text{km}}{\text{s}}$

$\frac{M_{\text{Z}}}{M_{\text{K}}}=81$

Szukane:

$v_{\text{J.K}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości prędkości satelity Jason-3 w ruchu po okręgu po orbicie kołowej o promieniu $r_{\text{J}}=7700\text{km}$ wokół Księżyca. Mamy przyjąć, że satelita ta wokół Ziemi porusza się z prędkością o wartości $v_{\text{J.Z}}=7,2\frac{\text{km}}{\text{s}}$ oraz, że satelita ta porusza się wokół Księżyca po orbicie o takim samym promieniu $r_{\text{J}}=7700\text{km}$. Zauważmy, że na poruszającą się satelitę wokół planety lub innego ciała niebieskiego działa siła grawitacji ${\vec{F}}_{\text{g}}$ zwrócona do środka okręgu.

PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem: $F_{\text{g}}=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$ gdzie: $F_{\text{g}}$ - wartość siły grawitacji, $G$  - stała grawitacji, $m_1$ i $m_2$  - masy oddziałujących ze sobą ciał, $r$  - odległość pomiędzy środkami tych mas.

Siła ta pełni rolę siły dośrodkowej ${\vec{F}}_{\text{d}}$, czyli wartość siły dośrodkowej jest równa wartości siły grawitacji:

$F_{\text{d}}=F_{\text{g}}$

WARTOŚĆ SIŁY DOŚRODKOWEJ Wartość siły dośrodkowej możemy przedstawić wzorem: $F_{\text{d}}=\frac{m{v}^2}{r}$ gdzie: $F_{\text{d}}$ - wartość siły dośrodkowej działającej na ciało,  $m$ - masa ciała poruszającego się po okręgu,  $v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu,  $r$ - promień okręgu, po jakim porusza się to ciało.

W naszym przypadku rozważamy satelitę o masie $m$ poruszającą się po okręgu o promieniu $r$ wokół ciała niebieskiego o masie $M$. Wówczas zapiszemy:

$\frac{m{v}^2}{r}=\frac{GmM}{r^2}|:m$

$\frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2}|\cdot r$

$v^2=\frac{GM}{r}|\sqrt{}$

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

Zapisujemy wzór na wartość prędkości satelity Jason-3, który porusza się po okręgu wokół Ziemi po orbicie o promieniu $r_{\text{J}}$:

$v_{\text{J.Z}}=\sqrt{\frac{G{M}_{\text{Z}}}{r_{\text{J}}}}$

Analogicznie zapisujemy wzór na wzór na wartość prędkości satelity Jason-3, który porusza się po okręgu wokół Księżyca po orbicie o promieniu $r_{\text{J}}$:

$v_{\text{J.K}}=\sqrt{\frac{G{M}_{\text{K}}}{r_{\text{J}}}}$

Z treści zadania wiemy, że:

$\frac{M_{\text{Z}}}{M_{\text{K}}}=81|\cdot M_{\text{K}}$

$M_{\text{Z}}=81M_{\text{K}}$

Wracamy do wzoru na wartość prędkości $v_{\text{J.Z}}$  i podstawiamy powyższą zależność:

$v_{\text{J.Z}}=\sqrt{\frac{G81M_{\text{K}}}{r_{\text{J}}}}$

$v_{\text{J.Z}}=\sqrt{81}\underset{v_{\text{J.K}}}{\underbrace{\sqrt{\frac{G{M}_{\text{K}}}{r_{\text{J}}}}}}$

$v_{\text{J.Z}}=9v_{\text{J.K}}|:9$

$\frac{v_{\text{J.Z}}}{9}=v_{\text{J.K}}$

$v_{\text{J.K}}=\frac{v_{\text{J.Z}}}{9}$

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy:

$v_{\text{J.K}}=\frac{7,2\frac{\text{km}}{\text{s}}}{9}=0,8\frac{\text{km}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Satelita Jason-3 poruszałby się po orbicie kołowej wokół Księżyca z prędkością o wartości $0,8\frac{\text{km}}{\text{s}}$.