Naszym zadaniem jest narysowanie na rysunku wektor prędkości satelity w punkcie perygeum przy wykorzystaniu odpowiednich praw fizyki. Zgodnie z treścią zadania satelita porusza się po orbicie eliptycznej, której odległość ogniska od perygeum wynosi:

$r_{\text{P}}=6800\text{km}$

Natomiast odległość ogniska od apogeum wynosi:

$r_{\text{A}}=27200\text{km}$

Na rysunku znajduje się również wektor prędkości ${\vec{v}}_{\text{K}}$satelity w punkcie K, którego odległość od ogniska wynosi:

$r_{\text{K}}=20400\text{km}$

Do określenia wektora prędkości ${\vec{v}}_{\text{P}}$ satelity w punkcie P, a dokładniej do określenia jego długości, skorzystamy z zasady zachowania momentu pędu. Zasada ta mówi, że wartość momentu pędu ciała jest stała:

$L=\text{const}$

WARTOŚĆ MOMENTU PĘDU PUNKTU MATERIALNEGO $L=rp\sin \left(\angle \left(\vec{r},\vec{p}\right)\right)$ gdzie: $L$ - wartość momentu pędu punktu materialnego,  $r$ - odległość punktu od przyjętej osi obrotu, $p$ - pęd punktu materialnego,  $\angle \left(\vec{r},\vec{p}\right)$ - kąt między wektorem $\vec{r}$ i $\vec{p}$.

Dodatkowo przypominamy wzór na pęd ciała.

PĘD $\vec{p}=m\vec{v}$ gdzie: $\vec{p}$ - pęd ciała, $m$ - masa ciała, $\vec{v}$ - prędkość ciała.

Zapiszemy więc, że wzór na wartość momentu pędu punktu materialnego przyjmuję postać:

$L=rmv\sin \left(\angle \left(\vec{r},\vec{p}\right)\right)$

Opierając się na powyższym wzorze, zapiszemy, że wartość momentu pędu satelity w punkcie K opisuje wzór:

$L_{\text{K}}=r_{\text{K}}m{v}_{\text{K}}\sin \left(\angle \left({\vec{r}}_{\text{K}},{\vec{p}}_{\text{K}}\right)\right)$

Natomiast wartość momentu pędu satelity w punkcie P opisuje wzór:

$L_{\text{P}}=r_{\text{P}}m{v}_{\text{P}}\sin \left(\angle \left({\vec{r}}_{\text{P}},{\vec{p}}_{\text{P}}\right)\right)$

W peryhelium wektor prędkości ${\vec{v}}_{\text{P}}$ (a co za tym idzie również i wektor pędu ${\vec{p}}_{\text{P}}$) jest prostopadły do wektora promienia wodzącego ${\vec{r}}_{\text{P}}$. Wówczas:

$\sin \left(\angle \left({\vec{r}}_{\text{P}},{\vec{p}}_{\text{P}}\right)\right)=\sin 90^{\circ }=1$

Zatem:

$L_{\text{P}}=r_{\text{P}}m{v}_{\text{P}}$

Natomiast kąt między wektorem prędkości ${\vec{v}}_{\text{K}}$ (a co za tym idzie również i wektorem pędu ${\vec{p}}_{\text{K}}$) a wektorem promienia wodzącego ${\vec{r}}_{\text{K}}$ musimy odczytać z rysunku. Najpierw oznaczamy na rysunku pomocniczym szukany kąt $\alpha$ na rysunku.

Wówczas zapiszemy, że:

$L_{\text{K}}=r_{\text{K}}m{v}_{\text{K}}\sin \alpha$

Zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu mamy:

$L_{\text{P}}=L_{\text{K}}$

$r_{\text{P}}m{v}_{\text{P}}=r_{\text{K}}m{v}_{\text{K}}\sin \alpha |:m$

$r_{\text{P}}{v}_{\text{P}}=r_{\text{K}}{v}_{\text{K}}\sin \alpha |:r_{\text{P}}$

$v_{\text{P}}=\frac{r_{\text{K}}}{r_{\text{P}}}{v}_{\text{K}}\sin \alpha$

$v_{\text{P}}=\frac{r_{\text{K}}}{r_{\text{P}}}{v}_{\text{K}}\sin \alpha$

Interesuje nas narysowanie wektora prędkości satelity w punkcie $\text{P}$, zatem powyższy wzór opisuje zależność długości wektora prędkości w punkcie $\text{P}$ względem długości wektora prędkości w punkcie $\text{K}$. Rysujemy na rysunku pomocniczym składowe wektora prędkości $\text{K}$.

Z rysunku odczytujemy długości składowych wektora prędkości $\text{K}$:

$v_{\perp }=2\text{kratki}$

$v_{\parallel }\approx 1,5\text{kratki}$

Wówczas, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość wektora prędkości w punkcie $\text{K}$:

$v_{\text{K}}^2=v_{\perp }^2+v_{\parallel }^2|\sqrt{}$

$v_{\text{K}}=\sqrt{v_{\perp }^2+v_{\parallel }^2}$

$v_{\text{K}}=\sqrt{{\left(2\text{kratki}\right)}^2+{\left(1,5\text{kratki}\right)}^2}=$

$=\sqrt{4{\text{kratki}}^2+2,25{\text{kratki}}^2}=$

$=\sqrt{6,25{\text{kratki}}^2}=2,5\text{kratki}$

Potrzebujemy jeszcze sinusa kąta $\alpha$. W tym celu skorzystamy z funkcji trygonometrycznych i zapiszemy:

$\sin \alpha =\frac{v_{\perp }}{v_{\text{K}}}$

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy:

$\sin \alpha =\frac{2\text{kratki}}{2,5\text{kratki}}=0,8$

Wracamy do wzoru na długość wektora prędkości w punkcie $\text{P}$ i podstawiamy dane do wzoru:

$v_{\text{P}}=\frac{r_{\text{K}}}{r_{\text{P}}}{v}_{\text{K}}\sin \alpha$

$v_{\text{P}}=\frac{20400\cancel{\text{km}}}{6800\cancel{\text{km}}}\cdot 2,5\text{kratki}\cdot 0,8=$

$=3\cdot 2,5\cdot 0,8\text{kratki}=$

$=7,5\cdot 0,8\text{kratki}=6\text{kratek}$

Rysujemy więc na rysunku pomocniczym wektor prędkości satelity w punkcie $\text{P}$ o długości $6\text{kratek}$: