Dane:

${\alpha }_{\max }=56^{\circ }$

$n_0=1$

$n_2=1,54$

Szukane:

$n_1=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie współczynnika załamania $n_1$ materiału, z którego wykonany jest rdzeń światłowodu. Przyjmijmy, że promień światła pada z powietrza na granicę ośrodków powietrze–rdzeń pod kątem $\alpha$. Promień ten ulega załamaniu pod kątem $\beta$. Następnie pada on na granicę ośrodków rdzeń–płaszcz pod kątem $\gamma$, gdzie zachodzi całkowicie wewnętrzne odbicie, a kąt odbicia jest równy kątowi padania, czyli $\delta =\gamma$. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Zależność między kątami $\alpha$ i $\beta$ opisuje prawo załamania lub tzw. prawo Snella.

PRAWO ZAŁAMANIA Korzystając, z prawa załamania (prawo Snella) wiemy, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, równą stosunkowi szybkości światła w tych ośrodkach i zwaną względnym współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego: $\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}$ gdzie: $\alpha$ - kąt padania, $\beta$ - kąt załamania, $v_1$ - szybkość światła w ośrodku padania, $v_2$ - szybkość światła w ośrodku, w którym światło ulega załamaniu, $n_1$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada, $n_2$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło się załamuje.

Najpierw rozważamy granicę ośrodków powietrze-rdzeń. Zapisujemy więc:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{n_1}{n_0}$

Przekształcamy powyższą zależność tak, aby wyznaczyć wzór na sinus kąta $\beta$:

$\frac{n_1}{n_0}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }|\cdot \sin \beta$

$\frac{n_1}{n_0}\sin \beta =\sin \alpha |:\frac{n_1}{n_0}$

$\sin \beta =\frac{n_0}{n_1}\sin \alpha$

Następnie promień pada na granicę ośrodków rdzeń-płaszcz pod kątem większym niż kąt graniczny. Zauważmy, że kąt graniczny ${\alpha }_{\text{gr}}$ jest to taki kąt padania światła na granicę ośrodków, dla którego kąt załamania wynosi $90^{\circ }$, czyli $\sin 90^{\circ }=1$. Wówczas, zgodnie z prawem Snella, zachodzi zależność:

$\frac{\sin {\alpha }_{\text{gr}}}{\sin 90^{\circ }}=\frac{n_2}{n_1}$

$\sin {\alpha }_{\text{gr}}=\frac{n_2}{n_1}$

gdzie:

${\alpha }_{\text{gr}}$ - kąt graniczny,

$n_1$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada,

$n_2$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło się załamuje.

Z rysunku pomocniczego odczytujemy:

${\alpha }_{\text{gr}}=\gamma$

Wówczas:

$\sin \gamma =\frac{n_2}{n_1}$

Z rysunku pomocniczego odczytujemy również, że:

$\beta +\gamma =90^{\circ }|-\beta$

$\gamma =90^{\circ }-\beta$

Z zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi podanymi w treści zadania mamy:

$\sin \gamma =\sin \left(90^{\circ }-\beta \right)=\cos \beta$

Skoro:

$\sin \gamma =\cos \beta$

to mamy:

$\cos \beta =\frac{n_2}{n_1}$

Mamy dwa równania:

$\{\begin{array}{rl}\sin \beta & =\frac{n_0}{n_1}\sin \alpha \\ \cos \beta & =\frac{n_2}{n_1}\end{array}$

Interesuje nas takie przekształcenie powyższych równań, aby otrzymać wzór na współczynnik załamania $n_1$ dla rdzenia. W tym celu posłużymy się kolejną zależnością funkcji trygonometrycznych podaną w treści zadania - tzw. jedynkę trygonometryczną:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Powyższe równanie jest spełnione dla wszystkich kątów. W naszym przypadku mamy kąt $\beta$, zatem:

${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$

${\left(\sin \beta \right)}^2+{\left(\cos \beta \right)}^2=1$

${\left(\frac{n_0}{n_1}\sin \alpha \right)}^2+{\left(\frac{n_2}{n_1}\right)}^2=1$

$\frac{n_0^2}{n_1^2}{\sin }^2\alpha +\frac{n_2^2}{n_1^2}=1$

$\frac{1}{n_1^2}\left(n_0^2{\sin }^2\alpha +n_2^2\right)=1|\cdot n_1^2$

$n_0^2{\sin }^2\alpha +n_2^2=n_1^2|\sqrt{}$

$\sqrt{n_0^2\sin {\alpha }^2+n_2^2}=n_1$

$n_1=\sqrt{n_0^2\sin {\alpha }^2+n_2^2}$

Porównujemy nasz rysunek pomocniczy z rysunkiem przedstawionym w treści zadania i zauważamy, że:

$\alpha ={\alpha }_{\max }$

Zatem:

$n_1=\sqrt{n_0^2\sin {\alpha }_{\max }^2+n_2^2}$

Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych lub korzystając z kalkulatora naukowego, odczytujemy:

$\sin 56^{\circ }=0,829$

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy:

$n_1=\sqrt{(1{)}^2\cdot (0,829{)}^2+(1,54{)}^2}=$

$=\sqrt{0,687241+2,3716}=$

$=\sqrt{3,058841}\approx 1,75$

Odpowiedź: Współczynnik załamania materiału, z którego został wykonany rdzeń wynosi około $1,75$.