Dane:

$I_k=0,01\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}{}^2$  

${\omega }_1=32\frac{\text{rad}}{\mathrm{s}}$   

$m_c=0,6\mathrm{kg}$  

$r_c=10\mathrm{cm}=0,1\mathrm{m}$  

$\mu =0,3$   

$h=40\mathrm{cm}=0,4\mathrm{m}$  

${\omega }_2=20\frac{\text{rad}}{\mathrm{s}}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

Szukane:

$t=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na moment siły oddziaływania ciężarka na krążek oraz obliczenie czasu, po jakim ustał poślizg ciężarka, a jego prędkość kątowa osiągnęła wartość końcową $20\frac{\text{rad}}{\text{s}}$.

Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła nie jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu, możemy przedstawić wzorem:

$M=rF\sin \alpha$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły,

$r$ - długość ramienia siły,

$F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną,

$\alpha$ - kąt pomiędzy ramieniem siły a wektorem siły,

W naszym przypadku siłą oddziaływania krążka i ciężarka jest siłą tarcia. Wartość siły tarcia obliczamy korzystając ze wzoru:

$T=\mu F_N$  

gdzie:

$T$ - wartość siły tarcia,

$\mu$ - współczynnik tarcia,

$F_N$ - wartość siły nacisku.

W naszym przypadku siła nacisku ciężarku jest równa sile ciężkości tego ciężarka, zatem możemy ją przedstawić za pomocą wzoru:

$F_N=m_{c}g$  

gdzie:

$m_c$ - masa ciężarka,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

W naszym przypadku wektor siły tarcia jest prostopadły do wektora odległości punktu działania siły od osi obrotu, zatem:

$\alpha =90^{\circ }$

Otrzymujemy wówczas, że wzór na wartość momentu siły oddziaływania ciężarka na krążek ma postać:

$M=T{r}_c\cdot \sin {90}^{\circ }$  

$M=T{r}_c\cdot 1$  

$M=T{r}_c$  

$M=\mu m_{c}g{r}_c$  

Obliczmy, po jakim czasie od upadku ciężarka jego poślizg ustał. Wiemy, że ciężarek, nim uzyskał prędkość o stałej wartości, poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym, natomiast wartość prędkości kątowej krążka się zmniejszała, czyli poruszał się ruchem jednostajnie opóźnionym. Wartość prędkości kątowej krążka w ruchu jednostajnie opóźnionym przedstawimy za pomocą wzoru:

${\omega }_2={\omega }_1-\epsilon t$  

gdzie:

${\omega }_2$ - wartość końcowej prędkości kątowej krążka,

${\omega }_1$ - wartość początkowej prędkości kątowej krążka,

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego (opóźnienia),

$t$ - czas trwania ruchu.

 Wyznaczamy wartość przyspieszenia, z jakim poruszał się krążek:

${\omega }_2={\omega }_1-\epsilon t\mid +\epsilon t$

$\epsilon t+{\omega }_2={\omega }_1\mid -{\omega }_2$

$\epsilon t={\omega }_1-{\omega }_2\mid :t$  

$\epsilon =\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{t}$  

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy:

$\epsilon =\frac{M}{I_k}$

gdzie:

$I_k$ - moment bezwładności krążka, 

$M$ - wartość momentu siły działającej na krążek.

Porównując obie zależności na wartość przyspieszenia kątowego krążka, wyznaczmy czas, po jakim poślizg ciężarka ustał:

$\frac{M}{I_k}=\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{t}\mid \cdot t$  

$\frac{M}{I_k}\cdot t={\omega }_1-{\omega }_2\mid \cdot \frac{I_k}{M}$  

$t=\frac{\left({\omega }_1-{\omega }_2\right)I_k}{M}$  

$t=\frac{\left({\omega }_1-{\omega }_2\right)I_k}{\mu m_{c}g{r}_c}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t=\frac{\left(32\frac{\text{rad}}{\mathrm{s}}-20\frac{\text{rad}}{\mathrm{s}}\right)\cdot {0,01\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2}^{}}{0,3\cdot 0,6\mathrm{kg}\cdot 10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 0,1\mathrm{m}}=$  

$=\frac{12\frac{\text{rad}}{\mathrm{s}}\cdot 0,01\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2}{0,18\mathrm{kg}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}=$  

$=\frac{0,12\mathrm{kg}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^{}}}{0,18\mathrm{kg}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}=$

$=\frac{2}{3}\mathrm{s}=$  

$\approx 0,67\mathrm{s}$

Odpowiedź: Wyprowadzony wzór na moment siły oddziaływania ciężarka na krążek ma postać: $M=\mu m_{c}g{r}_c$, a czas, po jakim ustał poślizg krążka, a jego prędkość kątowa osiągnęła końcową wartość 20 rad/s wynosi około 0,67 s.