Dane:

$m=10\mathrm{kg}$  

$m_w=5\mathrm{kg}$  

$I=\frac{1}{2}m{r}^2$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

Szukane:

$a=?$  

Rozwiązanie:

Naszym pierwszym zadaniem jest narysowanie sił działających w układzie. Na wiadro działa siła ciężkości zwrócona w dół, której wartość jest większa od wartości działającej w górę siły naciągu linki (linka się rozwija pod wpływem ciężaru wiadra, zatem siła wypadkowa zwrócona jest w dół): 

gdzie:

${\vec{F}}_g$ - siła ciężkości,

${\vec{F}}_N$ - siła naciągu liny.

Naszym drugim zadaniem jest obliczenie wartości przyspieszenia wiadra. Obrót kołowrotu jest spowodowany przez siłę naciągu liny. Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej, gdy siła powodująca obrót jest prostopadła do ramienia działającej siły. Wartość momentu siły przedstawiamy wzorem:

$M=F_{N}r$  

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły,

$F_N$ - wartość siły powodującej obrót bryły sztywnej,

$r$ - odległość punktu przyłożenia siły od osi obrotu, w tym przypadku równa promieniowi walca.

Wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$\epsilon =\frac{M}{I}$   

gdzie:

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej,

$I$ - moment bezwładności.

Z powyższego wzoru wynika, że:

$M=\epsilon I$

Wartość przyspieszenia kątowego w zależności od przyspieszenia liniowego przedstawiamy wzorem:

$\epsilon =\frac{a}{r}$  

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia liniowego.

Korzystając z powyższych wzorów, wyznaczamy wyrażenie na wartość przyspieszenia:

$M=F_{N}r$  

$\epsilon I=F_{N}r$  

$\frac{a}{\cancel{r}}\cdot \frac{1}{2}m{r}^{\cancel{2}}=F_{N}r$

$\frac{1}{2}mar=F_{N}r\mid :mr$  

$\frac{1}{2}a=\frac{F_N}{m}|\cdot 2$  

$a=\frac{2F_N}{m}$

Musimy jeszcze wyznaczyć wartość siły naciągu liny. Korzystając z rysunku i drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego otrzymujemy:

$F_g-F_N=m_{w}a$  

gdzie:

$F_g$ - wartość siły ciężkości wiadra,

$m_w$ - masa wiadra.

Wartość siły ciężkości przedstawimy za pomocą wzoru:

$F_g=m_{w}g$  

gdzie:

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Z tego wynika, że:

$F_g-F_N=m_{w}a|+F_N$

$F_g=m_{w}a+F_N|-m_{w}a$

$F_g-m_{w}a=F_N$

$F_N=m_{w}g-m_{w}a$

Wstawiamy wzór do wyrażenia na wartość przyspieszenia:

$a=\frac{2F_N}{m}$

$a=\frac{2\left(m_{w}g-m_{w}a\right)}{m}$

$a=\frac{2m_{w}g-2m_{w}a}{m}|\cdot m$

$ma=2m_{w}g-2m_{w}a|+2m_{w}a$

$ma+2m_{w}a=2m_{w}g$

$a(m+2m_w)=2m_{w}g|:(m+2m_w)$

$a=\frac{2m_{w}g}{m+2m_w}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a=\frac{2\cdot 5\mathrm{kg}\cdot 10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\frac{}{{}^{}}}{10\mathrm{kg}+2\cdot 5\mathrm{kg}}=$  

$=\frac{100\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}{10\mathrm{kg}+10\mathrm{kg}}=$

$=\frac{100\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}{20\mathrm{kg}}=$  

$=5\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

Odpowiedź: Wiadro porusza się z przyspieszeniem o wartości 5 m/s².