Dane:

$v_{p0}=700\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$\Delta x=5\text{cm}=0,05\text{m}$

$m_s=500m_p$

$\mu =1$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$ . 

Szukane:

$v_{p1}=?$

Rozwiązanie:

Wartość pędu ciała wyrażamy jako:

$p=mv$

gdzie:

$p$   - wartość pędu ciała,

$m$   - masa ciała,

$v$   - wartość prędkości ciała.

 

Początkowy pęd układu pocisku i świecy jest równy pędowi pocisku, z którym pocisk dolatuje do świecy. 

$p_0=p_{p0}$

gdzie:

$p_0$   - wartość początkowego pędu układu,

$p_{p0}$   - wartość początkowego pędu pocisku.

Zatem:

$p_0=m_p{v}_{p0}$  

Po przejściu pocisku przez świecę pęd układu pocisku i świecy $p_1$   jest równy sumie pędów pocisku $p_{p1}$   i świecy $p_{s1}$  . 

$p_1=p_{p1}+p_{s1}$

gdzie:

$p_1$   - końcowa wartość pędu układu, 

$p_{p1}$   - końcowa wartość pędu pocisku,

$p_{s1}$   - końcowa wartość pędu świecy.

Zatem:

$p_1=m_p{v}_{p1}+m_s{v}_{s1}$  

 

Korzystając z zasady zachowania pędu zapisujemy:

$p_0=p_1$

$m_p{v}_{p0}=m_p{v}_{p1}+m_s{v}_{s1}$   

Podstawmy znaną zależność między masą świecy i pocisku.

$m_p{v}_{p0}=m_p{v}_{p1}+500m_p{v}_{s1}\mid :m_p$   

$v_{p0}=v_{p1}+500v_{s1}$

Wartość prędkości pocisku tuż po przestrzeleniu świecy będzie równa:

$v_{p1}=v_{p0}-500v_{s1}$    

 

Musimy wyznaczyć wartość prędkości świecy jaką uzyskała po zderzeniu z pociskiem.

Po zderzeniu świeca poruszała się ruchem jednostajnie opóźnionym. Drogę jaką przebyła świeca wyrazimy jako:

$\Delta x=v_{s1}t-\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$\Delta x$   - droga jaką przebyła świeca,

$v_{s1}$   - wartość prędkości jaką uzyskała świeca,

$a$   - wartość opóźnienia z jakim poruszała się świeca,

$t$   - czas ruchu.

 

Wartość prędkości świecy wyrazimy jako:

$v_{s2}=v_{s1}-at$

gdzie:

$v_{s2}$   - wartość prędkości świecy, po czasie $t$  ,

$v_{s1}$   - wartość początkowo uzyskanej prędkości świecy,

Skoro świeca się zatrzymuje, to jej końcowa wartość prędkości jest zerowa.

$v_{s2}=0$

Zatem:

$0=v_{s1}-at$

$v_{s1}=at$

Stąd:

$t=\frac{v_{s1}}{a}$  

Podstawiamy wyznaczoną zależność na czas ruchu do wzoru na drogę przebytą przez świecę.   

$\Delta x=v_{s1}t-\frac{1}{2}a{t}^2$

$\Delta x=v_{s1}\cdot \frac{v_{s1}}{a}-\frac{1}{2}a\cdot {\left(\frac{v_{\text{s1}}}{a}\right)}^2$

$\Delta x=\frac{v_{s1}^2}{a}-\frac{1}{2}a\cdot \frac{v_{s1}^2}{a^2}$

$\Delta x=\frac{v_{s1}^2}{a}-\frac{1}{2}\frac{v_{s1}^2}{a}$

$\Delta x=\frac{v_{s1}^2}{2a}$

 

Wyznaczmy teraz wartość opóźnienia z jakim poruszała się świeca.

Siła tarcia jest siłą wypadkową działającą na świecę.

$F_w=T$

gdzie:

$F_w$   - wartość siły wypadkowej, 

$T$   - wartość siły tarcia.

 

Wartość siły wypadkowej wyrażamy jako:

$F_w=m_{s}a$

gdzie:

$m_s$   - masa świecy. 

 

Wartość siły tarcia wyrazimy jako:

$T=\mu F_N$

gdzie:

$\mu$   - współczynnik tarcia,

$F_N$   - wartość siły nacisku.

 

Świeca znajduje się na poziomym podłożu, zatem wartość siły nacisku będzie równa wartości siły ciężkości świecy.

$F_N=F_c$  

gdzie:

$F_c$   - wartość siły ciężkości.

 

Wartość siły ciężkości świecy wyrazimy jako:

$F_c=m_{s}g$

gdzie:

$g$   - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Stąd:

$F_N=m_{s}g$

$T=\mu m_{s}g$   

 

Zatem:

$F_w=T$

$m_{s}a=\mu m_{s}g$   

$a=\mu g$   

 

Podstawiamy wyznaczoną zależność na opóźnienie świecy, do przekształconego wzoru na przebytą drogę.

$\Delta x=\frac{v_{s1}^2}{2a}$

$\Delta x=\frac{v_{s1}^2}{2\mu g}$

Wyznaczmy wartość prędkości świecy jaką uzyskała po zderzeniu z pociskiem.

$v_{s1}^2=2\mu g\Delta x$  

$v_{s1}=\sqrt{2\mu g\Delta x}$  

 

Podstawiamy wyznaczoną zależność na wartość prędkości świecy do wzoru wynikającego z zasady zachowania pędu.

$v_{p1}=v_{p0}-500v_{s1}$

$v_{p1}=v_{p0}-500\sqrt{2\mu g\Delta x}$

Obliczmy szukaną wartość prędkości pocisku tuż po przestrzeleniu świecy.

$v_{p1}=700\frac{\text{m}}{\text{s}}-500\cdot \sqrt{2\cdot 1\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,05\text{m}}\approx$  

$\approx 700\frac{\text{m}}{\text{s}}-500\cdot 0,99\frac{\text{m}}{\text{s}}=700\frac{\text{m}}{\text{s}}-495\frac{\text{m}}{\text{s}}=205\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Wartość prędkości pocisku po przestrzeleniu świecy wynosiła $205\frac{\text{m}}{\text{s}}$.