Dane:

$v_{p0}=700\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$v_{s0}=0\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$m_s=500m_p$

$v_{p1}=200\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$v_{s1}=1\frac{\text{m}}{\text{s}}$     

Szukane:

$\frac{W}{E_{kp0}}=?$

Rozwiązanie:

Energię kinetyczną wyrażamy jako:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie:

$E_k$   - energia kinetyczna,

$m$   - masa ciała,

$v$   - wartość prędkości ciała.

 

Początkowa energia kinetyczna układu pocisku i świecy była równa sumie początkowej energii kinetycznej pocisku i świecy.

$E_{k0}=E_{kp0}+E_{ks0}$

gdzie:

$E_{k0}$   - początkowa energia kinetyczna układu, 

$E_{kp0}$   - początkowa energia kinetyczna pocisku,

$E_{kp0}$   - początkowa energia kinetyczna świecy.

Świeca spoczywała, więc jej początkowa energia kinetyczna była równa zero.

$E_{ks0}=0$

Zatem:

$E_{k0}=E_{kp0}+0=E_{kp0}$

Początkowa energia kinetyczna pocisku była równa:

$E_{kp0}=\frac{m_p{v}_{p0}^2}{2}$  

Stąd:

$E_{k0}=\frac{m_p{v}_{p0}^2}{2}$

 

Energia kinetyczna układu pocisku i świecy po jej przebiciu była równa sumie energii kinetycznej pocisku i świecy.

$E_{k1}=E_{kp1}+E_{ks1}$

gdzie:

$E_{k1}$   - końcowa energia kinetyczna układu, 

$E_{kp1}$   - końcowa energia kinetyczna pocisku,

$E_{ks1}$   - końcowa energia kinetyczna świecy.

 

Energia kinetyczna pocisku po opuszczeniu świecy była równa:

$E_{kp1}=\frac{m_p{v}_{p1}^2}{2}$  

Energia kinetyczna świecy była równa:

$E_{ks1}=\frac{m_s{v}_{s1}^2}{2}$

Korzystamy ze stosunku między masą świecy i pocisku.

$E_{ks1}=\frac{500m_p{v}_{s1}^2}{2}$

Zatem:

$E_{k1}=\frac{m_p{v}_{p1}^2}{2}+\frac{500m_p{v}_{s1}^2}{2}$  

 

Energia kinetyczna układu zmalała. Praca $W$   sił drążących otwór w świecy była równa bezwzględnej wartości zmiany energii kinetycznej $\Delta E_k$   układu.

$W=\left|\Delta E_k\right|$

$W=\left|E_{k1}-E_{k0}\right|$

$W=\left|\frac{m_p{v}_{p1}^2}{2}+\frac{500m_p{v}_{s1}^2}{2}-\frac{m_p{v}_{p0}^2}{2}\right|$    

$W=\frac{m_p}{2}\cdot \left|v_{p1}^2+500v_{s1}^2-v_{p0}^2\right|$    

 

Wyznaczmy szukany stosunek pracy sił drążących otwór do początkowej energii kinetycznej pocisku.

$\frac{W}{E_{kp0}}=\frac{\frac{m_p}{2}\cdot \left|v_{p1}^2+500v_{s1}^2-v_{p0}^2\right|}{\frac{m_p{v}_{p0}^2}{2}}$  

$\frac{W}{E_{kp0}}=\frac{\left|v_{p1}^2+500v_{s1}^2-v_{p0}^2\right|}{v_{p0}^2}$  

$\frac{W}{E_{kp0}}=\left|\frac{v_{p1}^2}{v_{p0}^2}+500\frac{v_{s1}^2}{v_{p0}^2}-1\right|$  

$\frac{W}{E_{\text{k p0}}}=\left|{\left(\frac{v_{\text{p1}}}{v_{\text{p0}}}\right)}^2+500{\left(\frac{v_{\text{s1}}}{v_{\text{p0}}}\right)}^2-1\right|$  

Obliczmy wartość tego stosunku.

$\frac{W}{E_{kp0}}=\left|{\left(\frac{200\frac{\text{m}}{\text{s}}}{700\frac{\text{m}}{\text{s}}}\right)}^2+500\cdot {\left(\frac{1\frac{\text{m}}{\text{s}}}{700\frac{\text{m}}{\text{s}}}\right)}^2-1\right|\approx$  

$\approx \left|0,0816+0,001-1\right|=\left|-0,9174\right|=0,9174$

$\frac{W}{E_{kp0}}\approx 92\%$  

Odpowiedź: Praca sił drążących otwór w świecy stanowiła około $92\%$ początkowej energii kinetycznej pocisku.