Dane:

$m_p=3\text{g}=0,003\text{kg}$  

$V_p=5{\text{dm}}^3=0,005{\text{m}}^3$  

$d_{pow}=1,25\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

Szukane:

$d_g=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie gęstości gazu w baloniku.

Z treści zadania mamy, że balonik unosi się nieruchomo w powietrzu, czyli interpretujemy to w ten sposób, że balonik pływa w powietrzu. Zatem wartość siły wyporu powietrza na balonik z gazem jest równa sile ciężkości balonika z gazem:

$F_g=F_w$  

gdzie:

$F_g$ - wartość siły ciężkości balonika,

$F_w$ - wartość siły wyporu.

Wartość siły ciężkości balonika jest dana wzorem:

$F_g=\left(m_p+m_g\right)g$  

gdzie:

$m_p$  - masa powłoki balonu,

$m_g$  - masa gazu, który znajduję się w balonie,

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Siła wyporu działa na ciało zanurzone w płynie. Jest skierowana pionowo do góry – przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało:

$F_w=dgV$  

gdzie: 

$d$  - gęstość cieczy, w której znajduje się ciało,  

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego,  

$V$  - objętością wypartej cieczy równą objętości części ciała zanurzonego w płynie. 

W przypadku z treści zadania wartość siły wyporu jest dana wzorem:

$F_w=d_{pow}g{V}_p$  

gdzie:

$d_{pow}$  - gęstość powietrza, w której znajduje się balon,  

$V_p$  - stała objętość nierozciągliwej i szczelnej powłoki. 

Wyznaczamy wzór na masę gazu, który znajduję się w balonie:

$F_g=F_w$  

$\left(m_p+m_g\right)g=d_{pow}g{V}_p$  

$\left(m_p+m_g\right)\cancel{g}=d_{pow}\cancel{g}{V}_p$  

$m_p+m_g=d_{pow}{V}_p\mid -m_p$  

$m_g=d_{pow}{V}_p-m_p$  

Z definicji gęstości wiemy, że:

$d=\frac{m}{V}$  

gdzie:

$d$  - gęstość ciała,

$m$  - masa ciała,

$V$  - objętość ciała.

Zakładając, że objętość gazu jest taka sama jak objętość balonu otrzymujemy, że gęstość gazu znajdującego się w balonie jest dana wzorem:

$d_g=\frac{m_g}{V_p}$  

$d_g=\frac{d_{pow}{V}_p-m_p}{V_p}$  

$d_g=\frac{d_{pow}{V}_p}{V_p}-\frac{m_p}{V_p}$  

$d_g=d_{pow}-\frac{m_p}{V_p}$  

Wstawiamy dane i obliczamy:

$d_g=1,25\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}-\frac{0,003\text{kg}}{0,005{\text{m}}^3}=$  

$=1,25\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}-\frac{3}{5}\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}=1,25\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}-0,6\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}=$

$=0,65\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

Odpowiedź: Gęstość gazu w baloniku wynosi $0,65\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$.