Oblicz gęstość d...- Zadanie 17.2: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$d_{1} = 1, 2 \frac{g}{cm ^{3}}$

$d_{2} = 0, 8 \frac{g}{cm ^{3}}$

Szukane:

$d = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie gęstości cieczy, w której zanurzono kule.

Zgodnie z warunkiem pływalności ciał kula unosi się, gdy jego gęstość jest mniejsza od gęstości cieczy, w której się znajduje. A zatonie, gdy gęstość kuli jest większa od gęstości cieczy. Czyli pływa, gdy wartość siły wyporu jest większa od wartości siły ciężkości, a tonie, gdy jest na odwrót.

Siła wyporu działająca na ciało zanurzone w płynie jest skierowana pionowo do góry – przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało:

$F_{w} = d g V$

gdzie:

$F_{w}$ - wartość siły wyporu,

$d$ - gęstość cieczy, w której znajduje się ciało,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$V$ - objętość wypartej cieczy równa objętości części ciała zanurzonej w płynie.

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{c} = m g$

gdzie:

$F_{c}$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Wyznaczmy teraz wartości powyższych sił dla obu kul:

🟪 wartości sił oddziałujących na kulę K1:

✔️ wartość siły wyporu cieczy:

$F_{w 1} = d g V_{1}$

✔️ wartość siły ciężkości kulki K1:

$F_{c 1} = m_{1} g$

🟪 wartości sił oddziałujących na kulę K2:

✔️ wartość siły wyporu cieczy:

$F_{w 2} = d g V_{2}$

✔️ wartość siły ciężkości kulki K2:

$F_{c 2} = m_{2} g$

Zauważmy, że nie znamy mas kul. Ale znamy ich gęstości i relację między objętościami kul:

więc możemy skorzystać ze wzoru na gęstość. Korzystając z definicji gęstości wiemy, że:

$d = \frac{m}{V}$

gdzie:

$d$ - gęstość ciała,

$m$ - masa ciała,

$V$ - objętość ciała.

Przekształćmy powyższy wzór względem masy:

$d = \frac{m}{V} ∣ \cdot V$

$m = d \cdot V$

Zatem masy kul wynoszą kolejno:

🟦 masa kuli K1:

$m_{1} = d_{1} V_{1}$

🟦 masa kuli K2:

$m_{2} = d_{2} V_{2}$

Zatem wartości sił ciężkości wynoszą kolejno:

🟩 wartość siły ciężkości kuli K1:

$F_{c 1} = d_{1} V_{1} g$

🟩 wartość siły ciężkości K2:

$F_{c 2} = d_{2} V_{2} g$

Obie kule poruszają się z taką samą wartością przyspieszenia. Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wiemy, że przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej działającej na to ciało. Wartość siły wypadkowej działającej na ciało możemy przedstawić wzorem:

$F_{wyp.} = m a$

gdzie:

$F_{wyp.}$ - wartość siły wypadkowej,

$m$ - masa ciała,

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim układ się porusza.

Obliczmy wartości sił wypadkowych dla obu kul:

🟨 wzór na wartość siły wypadkowej dla kuli K1 ma postać:

$F_{wyp.1} = m_{1} a_{1}$

korzystamy z zależności między masą a gęstością i otrzymujemy:

$F_{wyp.1} = d_{1} V_{1} a_{1}$

🟨 wzór na wartość siły wypadkowej dla kuli K2 ma postać:

$F_{wyp.2} = m_{2} a_{2}$

korzystamy z zależności między masą a gęstością i otrzymujemy:

$F_{wyp.2} = d_{2} V_{2} a_{2}$

Wartości sił wypadkowych wyznaczamy również jako:

🟧 wartość siły wypadkowej kuli K1:

$F_{wyp. 1} = F_{w 1} - F_{c 1}$

🟧 wartość siły wypadkowej kuli K2:

$F_{wyp. 2} = F_{c 2} - F_{w 2}$

Porównajmy nasze wartości siły wypadkowych i otrzymujemy równania:

🟥 dla kuli K1:

$F_{w 1} - F_{c 1} = d_{1} V_{1} a_{1}$

🟥 dla kuli K2:

$F_{c 2} - F_{w 2} = d_{2} V_{2} a_{2}$

Korzystamy ze wzorów na wartości sił i zależności między objętościami kul ( $V_{1} = V_{2} = V$ ) i otrzymujemy:

⬜ dla kuli K1:

$F_{w 1} - F_{c 1} = d_{1} V_{1} a_{1}$

$d g V_{1} - d_{1} V_{1} g = d_{1} V_{1} a_{1}$

$d g V - d_{1} V g = d_{1} V a_{1} ∣: V$

$d g - d_{1} g = d_{1} a_{1} ∣: d_{1}$

$\frac{d g - d _{1} g}{d _{1}} = a_{1}$

⬜ dla kuli K2:

$F_{c 2} - F_{w 2} = d_{2} V_{2} a_{2}$

$d_{2} V_{2} g - d V_{2} g = d_{2} V_{2} a_{2}$

$d_{2} V g - d V g = d_{2} V a_{2} ∣: V$

$d_{2} g - d g = d_{2} a_{2} ∣: d_{2}$

$\frac{d _{2} g - d g}{d _{2}} = a_{2}$

Wiemy, z treści zadania, że obie wartości przyspieszenia są sobie równe, więc:

$a_{1} = a_{2}$

$\frac{d g - d _{1} g}{d _{1}} = \frac{d _{2} g - d g}{d _{2}}$

Przekształcamy powyższe równanie względem gęstości cieczy $d$ i otrzymujemy:

$\frac{d g - d _{1} g}{d _{1}} = \frac{d _{2} g - d g}{d _{2}} ∣ \cdot d_{1} d_{2}$

$d_{2} (d g - d_{1} g) = d_{1} (d_{2} g - d g)$

$d_{2} d g - d_{2} d_{1} g = d_{1} d_{2} g - d_{1} d g ∣: g$

$d_{2} d - d_{2} d_{1} = d_{1} d_{2} - d_{1} d ∣ + d_{1} d$

$d_{2} d - d_{2} d_{1} + d_{1} d = d_{1} d_{2} ∣ + d_{2} d_{1}$

$d_{2} d + d_{1} d = d_{1} d_{2} + d_{2} d_{1}$

$d (d_{2} + d_{1}) = 2 d_{1} d_{2} ∣: (d_{2} + d_{1})$

$d = \frac{2 d _{1} d _{2}}{d _{2} + d _{1}}$

Wstawiamy dane liczbowe i otrzymujemy:

$d = \frac{2 \cdot 1 , 2 \frac{g}{cm ^{3}} \cdot 0 , 8 \frac{g}{cm ^{3}}}{1 , 2 \frac{g}{cm ^{3}} + 0 , 8 \frac{g}{cm ^{3}}} = \frac{2 \cdot 1 , 2 \frac{g}{cm ^{3}} \cdot 0 , 8 \frac{g}{cm ^{3}}}{2 \frac{g}{cm ^{3}}} =$