Dane:

$m_k=4,5\text{kg}$

$m_p=40\text{g}=0,04\text{kg}$

$v_p=470\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$v_o=5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

 

$a)$

Szukane:

$p_g=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości pędu gazów wydostających się z lufy. Skorzystajmy z zasady zachowania pędu. 

Całkowity pęd układu musi pozostać stały. W sytuacji początkowej całkowity pęd układu wynosił zero:

$p_0=0$

gdzie:

$p_0$ - wartość początkowego pędu układu.

Po wystrzale na całkowity pęd układu składa się pęd karabinu, pęd gazów oraz pęd pocisku. Wówczas:

$p_1=p_k+p_g+p_p$

gdzie:

$p_1$ - wartość pędu układu po wystrzale,

$p_k$ - wartość pędu karabinu,

$p_g$ - wartość pędu gazów,

$p_p$ - wartość pędu pocisku.

Wartość pędu możemy wyrazić jako:

$p=mv$

gdzie:

$p$ - wartość pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Karabin zostaje odrzucony, zatem porusza się w przeciwnym kierunku niż gazy oraz pocisk. Wówczas wartość pędu karabinu zapiszemy:

$p_k=-m_k{v}_o$

gdzie:

$m_k$ - masa karabinu,

$v_o$ - wartość prędkości odrzutu karabinu,

znak "$-$" - wynika z przeciwnego zwrotu prędkości (a zatem i pędu) niż dla pocisku. 

Wartość pędu pocisku zapiszemy:

$p_p=m_p{v}_p$

gdzie:

$m_p$ - masa pocisku,

$v_p$ - wartość prędkości pocisku.

Wówczas:

$p_1=-m_k{v}_o+p_g+m_p{v}_p$

Zgodnie z zasadą zachowania pędu:

$p_0=p_1$

$0=-m_k{v}_o+p_g+m_p{v}_p|+m_k{v}_o-m_p{v}_p$ 

$m_k{v}_o-m_p{v}_p=p_g$

$p_g=m_k{v}_o-m_p{v}_p$

Podstawmy wartości liczbowe:

$p_g=4,5\text{kg}\cdot 5\frac{\text{m}}{\text{s}}-0,04\text{kg}\cdot 470\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=22,5\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}-18,8\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=3,7\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Wartość pędu gazów wydostających się z lufy wynosi $3,7\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}$.

 

$b)$

Szukane:

$\Delta p=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie impulsu siły (popędu siły) uzyskiwany przez pocisk w lufie. Popęd siły jest wielkością charakteryzującą działanie siły w pewnym przedziale czasu. Zgodnie z II uogólnioną zasadą dynamiki Newtona wiemy, że:

$\Delta p=F\cdot \Delta t$

gdzie:

$\Delta p$ - popęd siły,

$F$ - siła powodująca zmianę pędu, 

$\Delta t$ - przedział czasu, w jakim ta zmiana nastąpiła. 

Popęd siły (impuls / zmiana pędu) może zostać przedstawiony jako różnica pomiędzy pędem końcowym a początkowym dla pocisku:

$\Delta p=p_p-p_{p.0}$

gdzie:

$\Delta p$ - szukany impuls siły (popęd), 

$p_{p.0}$ - pęd pocisku na początku (przed wystrzałem jest zerowy), 

$p_p$ - pęd pocisku w lufie po wystrzale. 

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$p_p=m_p{v}_p$

Z tego wynika, że:

$\Delta p=p_p-p_{p.0}$

$\Delta p=m_p{v}_p-0$

$\Delta p=m_p{v}_p$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta p=0,04\text{kg}\cdot 470\frac{\text{m}}{\text{s}}=18,8\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=$

$=18,8\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \text{s}=18,8\text{N}\cdot \text{s}$

Odpowiedź: Impuls siły (popęd) wynosi $18,8\text{N}\cdot \text{s}$.