Dane:

$F_D=800\text{N}$  

$F_K=675\text{N}$  

$m=2,5\text{kg}$  

$v=20\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$\mu =0,03$  

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

 

$\text{a)}$  

Szukane:

$v_D=?$  

$v_K=?$  

Rozwiązanie: 

Naszym zadaniem jest określenie wartości prędkości i zwroty prędkości Darka oraz Konrada. Skorzystajmy z zasady zachowania pędu. Wartość pędu ciała możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$p=mv$  

gdzie:

$p$  - wartość pędu, 

$m$  - masa poruszającego się ciała, 

$v$  - wartość prędkości poruszającego się ciała.

Rozważamy pędy Darka, Konrada i piłki. Znamy masę piłki i ciężary chłopców. Wartość ciężaru możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_c=mg$ 

gdzie:

$F_c$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

Wówczas wartości ciężarów Darka i Konrada będą miały postać:

$F_D=m_{D}g$

gdzie:

$F_D$ - wartość ciężaru Darka,

$m_D$ - masa Darka.

$F_K=m_{K}g$

gdzie:

$F_K$ - wartość ciężaru Konrada,

$m_K$ - masa Konrada.

Rozważmy chwilę początkową. Pędy nieruchomych chłopców i piłki wynoszą zero:

$p_{D.0}=0$  

gdzie:

$p_{D.0}$ - wartość pędu Darka w chwili początkowej.

$p_{K.0}=0$  

gdzie:

$p_{K.0}$ - wartość pędu Konrada w chwili początkowej.

$p_{p.0}=0$  

gdzie:

$p_{p.0}$ - wartość pędu piłki w chwili początkowej.

Rozważmy chwilę po rzucie. Załóżmy, że piłka po wyrzucie porusza się bez oporów, nie tracąc prędkości, a oś układu odniesienia została przyjęta tak, by zgadzała się ze zwrotem prędkości wyrzuconej piłki. W tak przyjętym układzie prędkość Darka po wyrzuceniu piłki jest skierowana przeciwnie do osi, natomiast prędkość Konrada zgodnie z jej zwrotem. Wówczas pęd Darka zapiszemy:

$p_{D.1}=-m_D{v}_D$  

gdzie:

$p_{D.1}$ - wartość pędu Darka po rzucie piłki,

$v_D$ - wartość prędkości Darka po rzucie piłki.

A pęd piłki zapiszemy:

$p_{p.1}=mv$  

gdzie:

$p_{p.1}$ - wartość pędu piłki po jej rzucie,

$m$ - masa piłki,

$v$ - wartość prędkości piłki względem ziemi.

Rozważmy chwilę końcową. Konrad łapie piłkę, która już wcześniej porusza się z pędem nadanym jej przez Darka. Po chwili, gdy Konrad ją chwyta, piłka porusza się już z taką samą prędkością jak on. W takiej sytuacji pęd Konrada zapiszemy:

$p_{K.2}=m_K{v}_K$  

gdzie:

$p_{K.2}$ - wartość pędu Konrada w chwili końcowej,

$v_K$ - wartość prędkości Konrada w chwili końcowej.

A pęd piłki:

$p_{p.2}=m{v}_K$  

$p_{p.2}$ - wartość pędu piłki w chwili końcowej.

Zgodnie z zasadą zachowania pędu dla układu Darek - piłka otrzymujemy, że:

$p_{p.0}+p_{D.0}=p_{p.1}+p_{D.1}$  

$0+0=mv-m_D{v}_D\mid +m_D{v}_D$  

$m_D{v}_D=mv|\cdot g$  

$m_D{v}_{D}g=mvg$

Podstawiając $F_D=m_{D}g$

$F_D{v}_D=mvg\mid :F_D$  

$v_D=\frac{mvg}{F_D}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_D=\frac{2,5\text{kg }\cdot 20\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{800\text{N}}=$  

$=\frac{490,5\bcancel{\text{kg}}\cdot \frac{{\text{m}}^{\xcancel{2}}}{{\text{s}}^{\cancel{3}}}}{800\bcancel{\text{kg}}\cdot \frac{\xcancel{\text{m}}}{\cancel{{\text{s}}^2}}}=$  

$=0,613125\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 0,61\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Darek będzie poruszał się z wektorem prędkości przeciwnym do zwrotu przyjętej osi. Zgodnie z zasadą zachowania pędu dla układu Konrad - piłka otrzymujemy, że:

$p_{K.2}+p_{p.2}=p_{K.0}+p_{p.1}$  

$m_K{v}_K+m{v}_K=0+mv|\cdot g$  

$m_K{v}_{K}g+m{v}_{K}g=mvg$

Podstawiając $F_K=m_{K}g$

$F_K{v}_K+m{v}_{K}g=mvg$  

$\left(F_K+mg\right)v_K=mvg\mid :\left(F_K+mg\right)$  

$v_K=\frac{mvg}{\left(F_K+mg\right)}$  

Podstawmy dane liczbowe do wzoru:

$v_K=\frac{2,5\text{kg}\cdot 20\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{675\text{N }+2,5\text{kg }\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{490,5\text{kg }\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^3}}{675\text{kg }\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}+24,525\text{kg }\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{490,5\bcancel{\text{kg}}\cdot \frac{{\text{m}}^{\xcancel{2}}}{{\text{s}}^{\cancel{3}}}}{699,525\bcancel{\text{kg}}\cdot \frac{\xcancel{\text{m}}}{\cancel{{\text{s}}^2}}}\approx 0,70\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Konrad będzie poruszał się z wektorem prędkości zgodnym ze zwrotem przyjętej osi.

Odpowiedź: Darek będzie poruszał się z wektorem prędkości przeciwnym do zwrotu przyjętej osi, o wartości $0,61\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Konrad będzie poruszał się z wektorem prędkości zgodnym ze zwrotem przyjętej osi, o wartości $0,70\frac{\text{m}}{\text{s}}$

 

$\text{b)}$  

Szukane:

$s=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie drogi, jaką przebył Darek. Na Darka działa siła tarcia powodująca jego ruch jednostajnie opóźniony. Siła tarcia kinetycznego działa na ciało będące w ruchu, zwrócona jest przeciwnie do wektora prędkości, a jej wartość możemy wyrazić wzorem: 

$T_{\text{k}}={\mu }_{\text{k}}{F}_{\text{N}}$

gdzie:

$T_{\text{k}}$ - wartość siły tarcia kinetycznego,

${\mu }_{\text{k}}$ - współczynnik tarcia kinetycznego,

$F_{\text{N}}$ - wartość siły nacisku ciała na podłoże.

W naszym przypadku siła nacisku Darka na podłoże będzie odpowiadała ciężarowi chłopca, czyli:

$T=\mu F_D$  

gdzie:

$\mu$ -  współczynnik tarcia,

$T$ - wartość tarcia kinetycznego działającego na Darka,

$F_D$ - wartość ciężaru Darka.

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wiemy, że przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej działającej na to ciało. Wartość siły wypadkowej działającej na ciało możemy przedstawić wzorem:

$F_{\text{wyp.}}=ma$

gdzie:

$F_{\text{wyp.}}$ - wartość siły wypadkowej,

$m$ - masa ciała, 

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim układ się porusza. 

Na Darka jedyną siłą wpływającą na ruch postępowy jest tarcie kinetyczne. Wówczas:

$T=m_{D}a$  

$\mu F_D=m_{D}a|\cdot g$  

$\mu F_{D}g=m_{D}ag$

Podstawiając $F_D=m_{D}g$ 

$\mu F_{D}g=F_{D}a|:F_D$

$\mu g=a$

$a=\mu g$  

Korzystając z definicji przyspieszenia wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$\Delta v$ - zmiana szybkości ciała,

$\Delta t$ - czas w jakim zmienia się szybkość.

Wiemy, że na końcu ruchu Darek się zatrzymuje, czyli zgodnie z definicją przyspieszenia możemy zapisać:

$a=\frac{v_D}{t}$  

gdzie:

$a$  - wartość przyspieszenia, 

$v_{\text{D}}$  - zmiana szybkości Darka, która w tym przypadku odpowiada jego szybkości początkowej, jaką uzyskał po wyrzuceniu piłki, 

$t$  - czas ruchu chłopca. 

$a=\frac{v_D}{t}|\cdot t$

$ta=v_D|:a$

$t=\frac{v_D}{a}$

Drogę, jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie opóźnionym, przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s=v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$s$ - droga pokonana przez ciało,

$v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała, 

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało (opóźnienie), 

$t$ - czas ruchu ciała. 

W naszej sytuacji zapiszemy drogę:

$s=v_{D}t-\frac{1}{2}a{t}^2$

Podstawiając $t=\frac{v_D}{a}$:

$s=v_D\frac{v_D}{a}-\frac{1}{2}a{\left(\frac{v_D}{a}\right)}^2$  

$s=\frac{{v_D}^2}{a}-\frac{1}{2}\cancel{a}\frac{v_D^2}{a^{\cancel{2}}}$  

$s=\frac{2v_D^2}{2a}-\frac{v_D^2}{2ca}$  

$s=\frac{v_D^2}{2a}$  

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że $v_D=\frac{mvg}{F_D}$, oraz, że $a=\mu g$, zatem:

$s=\frac{{\left(\frac{mvg}{F_D}\right)}^2}{2\mu g}$  

$s=\frac{\frac{m^2{v}^2{g}^2}{F_D^2}}{2\mu g}$  

$s=\frac{m^2{v}^{2}g}{2\mu F_D^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$s=\frac{{\left(2,5\text{kg}\right)}^2\cdot {\left(20\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{2\cdot 0,03\cdot {\left(800\text{N}\right)}^2}=$  

$=\frac{6,25{\text{kg}}^2\cdot 400\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{2\cdot 0,03\cdot 640000{\text{N}}^2}=$  

$=\frac{24525{\text{kg}}^2\cdot \frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^4}}{38400{\text{N}}^2}=$  

$=\frac{24525{\left(\text{kg }\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)}^2\cdot \text{m}}{38400{\text{N}}^2}=$  

$=\frac{24525\cancel{{\text{N}}^2}\cdot \text{m}}{38400\cancel{{\text{N}}^2}}\approx 0,64\text{m}$

Odpowiedź: Droga, jaką przebył Darek, wynosi $0,64\text{m}$.