Dane:

$m_k=3,7\text{kg}$

$m_p=40,5\text{g}=0,0405\text{kg}$

$l=110\text{cm}=1,1\text{m}$

$v_p=400\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

 

$a)$  

Szukane:

$t=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie czasu lotu pocisku w lufie, przy założeniu, że porusza się on ruchem jednostajnie przyspieszonym. Drogę, jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym, przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała, 

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało, 

$t$ - czas ruchu ciała. 

Pocisk początkowo się nie poruszał, wówczas wartość jego początkowej prędkości wynosiła zero. Całkowita droga, jaką pocisk przebył podczas wystrzału, jest równa długości lufy. Wówczas:

$l=0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$

$l=\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$l$ - długość lufy,

$a$ - przyspieszenie, z jakim porusza się pocisk w lufie,

$t$ - czas wystrzału pocisku.

Korzystając z definicji przyspieszenia, wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$\Delta v$ - zmiana szybkości ciała,

$\Delta t$ - czas, w jakim zmienia się szybkość.

Całkowita zmiana szybkości pocisku jest równa $v_p$, a czas, w jakim pocisk uzyskał tę wartość prędkości, wynosi $t$, zatem:

$a=\frac{v_p}{t}$

gdzie:

$v_p$ - wartość prędkości pocisku.

Podstawiając do wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

$l=\frac{1}{2}\left(\frac{v_p}{t}\right)t^2$

$l=\frac{1}{2}\frac{v_p}{\cancel{t}}{t}^{\cancel{2}}$

$l=\frac{1}{2}{v}_{p}t|:\frac{1}{2}{v}_p$

$\frac{2l}{v_p}=t$

$t=\frac{2l}{v_p}$

Podstawmy wartości liczbowe:

$t=\frac{2\cdot 1,1\cancel{\text{m}}}{400\frac{\cancel{\text{m}}}{\text{s}}}=0,0055\text{s}=5,5\text{ms}$

Odpowiedź: czas lotu pocisku w lufie wynosi $5,5\text{ms}$.

 

$b)$  

Szukane:

$v_k=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości prędkości odrzutu karabinu, przy założeniu, że pęd gazów wydostających się z lufy tuż po wystrzale to $20\%$ pędu karabinu. Skorzystajmy z zasady zachowania pędu. Całkowity pęd układu musi pozostać stały. W sytuacji początkowej całkowity pęd układu wynosił zero:

$p_0=0$

gdzie:

$p_0$ - wartość początkowego pędu układu.

Po wystrzale na całkowity pęd układu składa się pęd karabinu, pęd gazów oraz pęd pocisku. Dla uproszczenia obliczeń przyjmujemy, że wszystkie pędy liczymy jako wartości dodatnie. Karabin zostaje odrzucony, zatem porusza się w przeciwnym kierunku niż gazy oraz pocisk, wówczas całkowity pęd układu przyjmie postać:

$p_1=-p_k+p_g+p_p$

gdzie:

$p_1$ - wartość pędu układu po wystrzale,

$p_k$ - wartość pędu karabinu,

$p_g$ - wartość pędu gazów,

$p_p$ - wartość pędu pocisku.

Zgodnie z treścią zadania wiemy, że wartość pędu gazów wynosi $20\%$ wartości pędu karabinu:

$p_g=20\%p_k$

Wówczas:

$p_1=-p_k+20\%p_k+p_p$

Zgodnie z zasadą zachowania pędu, możemy zapisać:

$p_0=p_1$

$0=-p_k+20\%p_k+p_p$

$0=-80\%p_k+p_P|+80\%p_k$

$80\%p_k=p_p$

Wartość pędu możemy wyrazić jako:

$p=mv$

gdzie:

$p$ - wartość pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Wówczas wartość pędu karabinu zapiszemy:

$p_k=m_k{v}_k$

gdzie:

$m_k$ - masa karabinu,

$v_k$ - wartość prędkości odrzutu karabinu.

Wartość pędu pocisku zapiszemy:

$p_p=m_p{v}_p$

gdzie:

$m_p$ - masa pocisku,

$v_p$ - wartość prędkości pocisku.

Zatem:

$80\%p_k=p_p$

$80\%m_k{v}_k=m_p{v}_p|:80\%m_k$

$v_k=\frac{m_p{v}_p}{80\%m_k}$

Podstawmy wartości liczbowe:

$v_k=\frac{0,0405\cancel{\text{kg}}\cdot 400\frac{\text{m}}{\text{s}}}{80\%\cdot 3,7\cancel{\text{kg}}}\approx 5,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Wartość prędkości odrzutu karabinu wynosi $5,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$.