Dane:

$\omega =1\frac{\text{rad}}{\text{s}}$

$s=10\text{s}$

$R_{\text{zew}}=50\text{cm}=0,5\text{m}$

Szukane:

$t=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie czasu jaki zajmie krążkowi wyhamowanie po opuszczeniu tarczy. Wiemy, że przylegał on do zewnętrznej ściany tarczy i poruszał się on ruchem obrotowym z określoną szybkością kątową. Wartość szybkości liniowej, z jaką krążek porusza się po okręgu, będzie również szybkością, z jaką opuści tarczę. Wiemy, że wartość prędkości linowej jest związana z szybkością kątową zależnością:

$\omega =vR$

gdzie:

$\omega$ - szybkość kątowa,

$v$ - szybkość liniowa,

$R$ - promień okręgu, po jakim porusza się krążek. 

Interesuje nas szybkość, z jaką krążek wypadnie z tarczy, dlatego przekształcamy powyższy wzór:

$\omega =\frac{v}{R}|\cdot R$

$\omega R=v$

$v=\omega R$

Zapisując powyższe równanie dla naszego zadania:

$v_p=\omega R_{\text{zew}}$

gdzie:

$v_p$ - wartość prędkości początkowej,

$R_{\text{zew}}$ - promień zewnętrzny tarczy.

Bez straty ogólności możemy przyjąć, że krążek porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym po stole, ponieważ interesują nas jedynie czas i droga, jaką przebył. Uśredniona wartość przyspieszenia pozwoli uzyskać ten sam wynik, co w przypadku ruchu ze zmiennym opóźnieniem.

Wartość przyspieszenia obliczamy ze wzoru:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

gdzie:

$a$ - bezwzględna wartość przyspieszenia,

$\Delta v$ -  zmiana szybkości,

$\Delta t$ - czas, w jakim zmienia się ruch.

Wiemy, że zmiana wartości szybkości jest dana wzorem:

$\Delta v=v_k-v_p$

gdzie:

$v_k$ - szybkość końcowa.

Podstawiając to do wzoru na wartość przyspieszenia:

$a=\frac{v_k-v_p}{\Delta t}$

Wiemy, że pod koniec ruchu ciało się zatrzymuje, więc szybkość końcowa wynosi 0. W związku z tym możemy zapisać:

$a=-\frac{v_p}{\Delta t}$

Podstawiając wzór na szybkość początkową:

$a=\frac{-\omega R_{\text{zew}}}{\Delta t}$

$a=-\frac{\omega R_{\text{zew}}}{\Delta t}$

Wiemy, że droga w ruchu przyspieszonym z prędkością początkową jest dana wzorem:

$s=v_{p}t+\frac{a{t}^2}{2}$

gdzie:

$s$ - droga,

$t$ - czas ruchu,

Wiemy, że czas ruchu będzie równy czasowi, w jakim zmieniała się szybkość, więc możemy zapisać:

$a=-\frac{\omega R_{\text{zew}}}{t}$

Podstawiając wzory na szybkość początkową oraz wartość przyspieszenia do wzoru na drogę:

$s=\omega R_{\text{zew}}t-\frac{\frac{\omega R_{\text{zew}}}{t}{t}^2}{2}$

$s=\omega R_{\text{zew}}t-\frac{\omega R_{\text{zew}}t}{2}$

$s=\frac{\omega R_{\text{zew}}t}{2}$

Chcemy wyznaczyć czas ruchu, więc przekształcamy powyższe równanie:

$s=\frac{\omega R_{\text{zew}}t}{2}|\cdot 2$

$2s=\omega R_{\text{zew}}t|:\omega R_{\text{zew}}$

$\frac{2s}{\omega R_{\text{zew}}}=t$

$t=\frac{2s}{\omega R_{\text{zew}}}$

Podstawiając wartości liczbowe:

$t=\frac{2\cdot 0,1\text{m}}{1\frac{\text{rad}}{\text{s}}\cdot 0,5\text{m}}=\frac{0,2\cancel{\text{m}}}{0,5\frac{\cancel{\text{m}}}{\text{s}}}=0,4\text{s}$

Odpowiedź: Krążek poruszał się przez 0,4 s.