Dane:

W tym zadaniu skorzystamy z:

▶  masy spoczynkowej elektronu: $m_e=9,11\cdot 10^{-31}\text{kg}$.

▶ wartości prędkości światła w próżni: $c=3\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Szukane:

$E_f=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie sumarycznej energii dwóch kwantów promieniowania elektromagnetycznego powstałych na skutek anihilacji elektronu i pozytronu. Zgodnie z zasadą zachowania energii, jej ilość w układzie musi być taka sama przed i po anihilacji. Ponieważ po anihilacji jedynymi nośnikami energii są fotony, ich łączna energia musi być równa sumarycznej energii elektronu i pozytronu sprzed anihilacji.

$E_f=E^{\prime }$

gdzie:

$E_f$ - energia powstałych kwantów,

$E^{\prime }$ - energia przed anihilacją.

Wiemy, że przed anihilacją jedynymi źródłami energii w układzie były elektron i pozyton. W zadaniu możemy założyć, że prędkości obu cząstek w chwili zderzenia były niewielkie, co oznacza, że ich energia kinetyczna jest na tyle mała, że można ją pominąć. Zatem obie cząstki posiadają jedynie energię spoczynkową, daną wzorem:

$E_{\text{s}}=m{c}^2$

gdzie:

$E_{\text{s}}$ - energia spoczynkowa obiektu, 

$m$ - masa spoczynkowa obiektu, 

$c$ - wartość prędkości światła w próżni.

Wiemy, że obie cząstki mają takie same masy oraz jedną z nich jest elektron, więc możemy zapisać:

$E_s=m_e{c}^2$

gdzie:

$m_e$ - masa spoczynkowa elektronu.

Ponieważ w stanie początkowym były dwie cząstki o tej energii, więc możemy zapisać:

$E^{\prime }=2E_s$

Podstawiając to do równania na energie kwantów:

$E_f=2E_s$

$E_f=2m_e{c}^2$

Podstawiając wartości liczbowe:

$E_f=2\cdot 9,11\cdot 10^{-31}\text{kg}\cdot {\left(3\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2=$

$=18,22\cdot 10^{-31}\text{kg}\cdot 9\cdot 10^{16}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\approx$

$\approx 164\cdot 10^{-15}\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=1,64\cdot 10^{-13}\text{J}$

Odpowiedź: Energia powstałych kwantów wynosi $1,64\cdot 10^{-13}\text{J}$.