Nieruchoma cząstka o masie spoczynkowej...- Zadanie 598: Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$m = M_{0}$

$v = 0, 8 \cdot c$

Szukane:

$m_{0} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie mas spoczynkowych cząstek powstałych na skutek rozpadu nieruchomej cząstki. Wiemy, że cząstka przed rozpadem się nie poruszała, więc posiadała jedynie energię spoczynkową, która jest dana worem:

$E_{s} = m c^{2}$

gdzie:

$E_{s}$ - energia spoczynkowa obiektu,

$m$ - masa spoczynkowa obiektu,

$c$ - wartość prędkości światła w próżni.

Uwzględniając informacje z zadania możemy zapisać:

$E_{s} = M_{0} c^{2}$

gdzie:

$M_{0}$ - masa spoczynkowa pierwotnej cząstki.

Powstałe cząstki poruszają się, więc musimy uwzględnić efekty relatywistyczne. Całkowita energia relatywistyczna jest dana wzorem:

$E = \frac{m c ^{2}}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}$

gdzie:

$E$ - całkowita energia relatywistyczna,

$v$ - szybkość, z jaką porusza się ten obiekt.

Wiemy, że powyższy wzór stosujemy do powstałej cząstki, więc możemy zapisać:

$E = \frac{m _{0} c ^{2}}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}$

gdzie:

$m_{0}$ - masa spoczynkowa powstałej cząstki.

Podstawiając do powyższego wzoru wartość prędkości podaną w zadaniu:

$E = \frac{m _{0} c ^{2}}{1 - \frac{0 , 8 ^{2} c ^{2}}{c ^{2}}}$

$E = \frac{m _{0} c ^{2}}{1 - 0 , 64}$

$E = \frac{m _{0} c ^{2}}{0 , 36}$

$E = \frac{m _{0} c ^{2}}{0 , 6}$

Zgodnie z zasadą zachowania energii, całkowita energia w układzie musi być taka sama zarówno przed, jak i po rozpadzie cząstki. Wiemy, że przed rozpadem jedynym rodzajem energii w układzie była energia spoczynkowa początkowej cząstki, natomiast po rozpadzie mamy dwie cząstki o całkowitej energii relatywistycznej, obliczonej przed chwilą. Korzystając z tych informacji, możemy zapisać:

$E_{s} = 2 E$

$M_{0} c^{2} = 2 \cdot \frac{m _{0} c ^{2}}{0 , 6}$