Dane:

$v=0,6\cdot c$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶  masy spoczynkowej elektronu: $m_e=9,11\cdot 10^{-31}\text{kg}$,

▶ stałej Plancka: $h=6,63\cdot 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$,

▶ wartości prędkości światła w próżni: $c=3\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Szukane:

${\lambda }_B=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest obliczenie długości fali de Broglie'a dla elektronu z uwzględnieniem efektów relatywistycznych. W tym celu zastanówmy się, od czego zależy długość fali de Broglie'a. Wiemy, że jest ona dana wzorem:

${\lambda }_B=\frac{h}{p}$

gdzie:

${\lambda }_B$ - długość fali de Broglie'a,

$p$ - wartość pędu materii,

$h$ - stała Plancka.

Jak widzimy, aby wyznaczyć tę długość fali, musimy najpierw obliczyć wartość pędu elektronu. Elektron porusza się na tyle szybko, że musimy uwzględnić efekty relatywistyczne i nie możemy zastosować klasycznego wzoru na wartość pędu. Wartość pędu relatywistycznego obliczamy za pomocą zależności:

$p=\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

gdzie:

$m$ - masa poruszającego się ciała, 

$v$ - wartość prędkości, z jaką porusza się ciało, 

$c$ - wartość prędkości światła.

Podstawiając powyższy wzór do równania na długość fali de Broglie'a otrzymujemy:

${\lambda }_B=\frac{h}{\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$

${\lambda }_B=\frac{h\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{mv}$

Wiemy, że w tym problemie rozważamy elektron, więc możemy zapisać:

${\lambda }_B=\frac{h\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}{m_{e}v}$

gdzie:

$m_e$ - masa spoczynkowa elektronu.

Szybkość została wyrażona jako ułamek prędkości światła, co umożliwia podstawienie jej do wzoru i uproszczenie równania. Podstawiamy tak zapisaną wartość:

${\lambda }_B=\frac{h\sqrt{1-{\left(\frac{0,6\cdot \cancel{c}}{\cancel{c}}\right)}^2}}{m_e\cdot 0,6\cdot c}$

${\lambda }_B=\frac{h\sqrt{1-0,36}}{0,6m_e\cdot c}$

${\lambda }_B=\frac{h\sqrt{0,64}}{0,6m_e\cdot c}$

${\lambda }_B=\frac{0,8}{0,6}\cdot \frac{h}{m_e\cdot c}$

${\lambda }_B=\frac{4}{3}\cdot \frac{h}{m_e\cdot c}$

Teraz możemy podstawić wartości liczbowe:

${\lambda }_B=\frac{4}{3}\cdot \frac{6,63\cdot 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}}{9,11\cdot 10^{-31}\text{kg}\cdot 3\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}=$

$=\frac{4}{3}\cdot \frac{6,63\cdot 10^{-34}\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^{\cancel{2}}}\cdot \cancel{\text{s}}}{27,33\cdot 10^{-23}\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}}=$

$=\frac{26,52\cdot 10^{-34}\cancel{\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}}\cdot \text{m}}{81,99\cdot 10^{-23}\cancel{\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}}}\approx$

$\approx 0,32\cdot 10^{-11}\text{m}=3,2\cdot 10^{-12}\text{m}$

Odpowiedź: Długość fali de Broglie tych elektronów wynosi $3,2\cdot 10^{-12}\text{m}$.