Treść: 

Zadanie 3.

Dany jest cienki jednorodny pręt o masie m, długości l i końcach w punktach A oraz B. Koniec A pręta jest oparty o klocek na poziomej powierzchni, a koniec B pręta jest podtrzymywany. W ten sposób pręt tworzy z poziomą powierzchnią kąt α₀ (zobacz rysunek 1.). W pewnej chwili t₀ zwolniono koniec B pręta, wskutek czego pręt zaczął opadać tak, że jego koniec A się nie przesuwał (zobacz rysunek 2.). Na obu rysunkach oznaczono punkt S – środek masy pręta.

Na rysunku 2. oznaczono kąt α_t, tworzony przez pręt z poziomą powierzchnią w chwili t podczas opadania. Ruch pręta odbywa się w ziemskim polu grawitacyjnym w układzie inercjalnym. W zadaniach 3.1.–3.3. pomijamy opory ruchu.

Momenty bezwładności pręta względem osi obrotu przechodzącej przez punkt A oraz względem osi obrotu przechodzącej przez punkt S dane są – odpowiednio – wzorami:

Zadanie 3.1.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Podczas ruchu pręta jego przyśpieszenie kątowe jest określone wzorem

 

---

 Rozwiązanie: 

Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest wyznaczenie przyspieszenia kątowego pręta podczas ruchu. W czasie ruchu zmienia się kąt nachylenia pręta do poziomu. Zgodnie z II zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego otrzymujemy, że:

$M=I_{\text{A}}\epsilon$  

gdzie:

$I_{\text{A}}$  - moment bezwładności pręta względem punktu A, 

$\epsilon$  - wartość przyspieszenia kątowego pręta. 

Korzystając z rysunku 2. możemy zauważyć, że: 

gdzie:

${\overrightarrow{F}}_c$  - siła ciężkości, 

$r$  - odległość przyłożenia siły ciężkości od punktu obrotu pręta, 

$\alpha$  - kąt pomiędzy siłą, a prętem. 

Z rysunku wynika, że zależność kąta nachylenia pręta do siły ciężkości od kąta, który tworzy pręt po pewnym czasie od zwolnienia końca B będzie miał postać:

$\alpha +\left({90}^{\circ }-{\alpha }_t\right)={180}^{\circ }$  

$\alpha +{90}^{\circ }-{\alpha }_t={180}^{\circ }\mid -{90}^{\circ }+{\alpha }_t$  

$\alpha ={90}^{\circ }+{\alpha }_t$  

Odległość przyłożenia siły ciężkości od punktu obrotu pręta odpowiada połowie długości pręta:

$r=\frac{1}{2}l$  

Wartość siły ciężkości pręta wynosi:

$F_c=mg$  

gdzie: 

$m$  - masa pręta, 

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

Wartość momentu siły działającego na pręt będzie miał postać:

$M=r{F}_c\sin \alpha$  

$M=\frac{1}{2}lmg\sin \left({90}^{\circ }+{\alpha }_t\right)$  

Z własności funkcji trygonometrycznych otrzymujemy: 

$M=\frac{1}{2}lmg\cos {\alpha }_t$  

Wówczas wartość przyspieszenia kątowego przedstawimy wzorem:

$I_{\text{A}}\epsilon =M$  

$\frac{1}{3}m{l}^2\epsilon =\frac{1}{2}lmg\cos {\alpha }_t\mid \cdot 3$  

$m{l}^2\epsilon =\frac{3}{2}lmg\cos {\alpha }_t\mid :m{l}^2$  

$\epsilon =\frac{3}{2}\cdot \frac{lmg}{m{l}^2}\cos {\alpha }_t$  

$\epsilon =\frac{3}{2}\cdot \frac{g}{l}\cos {\alpha }_t$  

 Odpowiedź: 

Podczas ruchu pręta jego przyśpieszenie kątowe jest określone wzorem:

$\text{A. }\epsilon =\frac{3}{2}\cdot \frac{g}{l}\cos {\alpha }_t$