Treść: 

Zadanie 4.

Satelita S_A krąży dookoła Ziemi po orbicie kołowej A o promieniu r_A, a satelita S_B krąży dookoła Ziemi po orbicie kołowej B o promieniu r_B. Oba satelity mają wyłączone silniki i poruszają się jedynie pod wpływem siły grawitacji Ziemi. Masy obu satelitów są jednakowe.

Orbity A i B leżą w jednej płaszczyźnie. Okres obiegu satelity SA po orbicie jest równy 𝑇_𝐴 = 2,0 h, a okres obiegu satelity S_B po orbicie jest równy 𝑇_𝐵 = 12 h.

W zadaniach 4.1.–4.4.:

• pomijamy oddziaływanie obu satelitów z innymi ciałami niebieskimi

• przyjmujemy, że energie potencjalne dążą do zera w nieskończoności.

Zadanie 4.1.

Dokończ zdanie. Zaznacza właściwą odpowiedź spośród podanych. 

Prawidłową relację między promieniami orbit A i B określa zależność

---

 Rozwiązanie: 

 Uzasadnienie:  

Trzecie prawo Keplera mówi, że kwadraty okresów obiegu planety wokół Słońca $T$  są proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości $r$  od Słońca. Zapisujemy, je za pomocą wzoru:

$\frac{T^2}{r^3}=\text{const}$  

Trzecie prawo Keplera sformułowane dla obiegu planet wokół Słońca można również stosować dla dowolnych ciał niebieskich obiegających masywne obiekty.

Oznacza to, że dla satelitów obiegających Ziemię prawdziwe mamy równanie:

$\frac{T_{\text{A}}^2}{r_{\text{A}}^3}=\frac{T_{\text{B}}^2}{r_{\text{B}}^3}$  

gdzie:

$T_{\text{A}}=2,0\text{h}$  - okres obiegu satelity S_A dookoła Ziemi, 

$T_{\text{B}}=12\text{h}$  - okres obiegu satelity S_AB dookoła Ziemi, 

$r_{\text{A}}$  - promień orbity dla satelity S_A,

$r_{\text{B}}$  - promień orbity dla satelity S_B.

Wówczas prawidłowa relacja pomiędzy promieniami orbit będzie miała postać:

$\frac{T_{\text{A}}^2}{r_{\text{A}}^3}=\frac{T_{\text{B}}^2}{r_{\text{B}}^3}$  

Wymnażamy na krzyż:

$T_{\text{A}}^2{r}_{\text{B}}^3=T_{\text{B}}^2{r}_{\text{A}}^3\mid :T_{\text{A}}^2$  

$r_{\text{B}}^3=\frac{T_{\text{B}}^2}{T_{\text{A}}^2}{r}_{\text{A}}^3\mid \sqrt[3]{}$  

$r_{\text{B}}=\sqrt[3]{\frac{T_{\text{B}}^2}{T_{\text{A}}^2}}{r}_{\text{A}}$  

$r_{\text{B}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{T_{\text{B}}}{T_{\text{A}}}\right)}^2}{r}_{\text{A}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$r_{\text{B}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{12\text{h}}{2,0\text{h}}\right)}^2}{r}_{\text{A}}=\sqrt[3]{6^2}{r}_{\text{A}}=\sqrt[3]{36}{r}_{\text{A}}\approx 3,3r_{\text{A}}$  

 Odpowiedź: 

Prawidłową relację między promieniami orbit A i B określa zależność

$\text{A. }{r}_{\text{B}}\approx 3,3r_{\text{A}}$