$\mathbf{a})$

Naszym zadaniem jest zbadanie, jaką funkcją od czasu jest szybkość ciała, jeżeli wartość siły działającej na ciało możemy przedstawić wzorem:

$F=\frac{1}{t}\cdot \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

gdzie:

$F$ - wartość siły działającej na ciało, 

$t$ - czas,

$m$ - masa ciała, 

$v$- szybkość ciała, 

$c$ - wartość prędkości światła. 

Przekształćmy wzór na wartość siły, tak aby przedstawiał zależność szybkości od czasu:

$\frac{1}{t}\cdot \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=F|\cdot t$

$\frac{m{v}^{}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=Ft|:m$

$\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{F}{m}\cdot t$

Przyjmijmy, że $\frac{F}{m}=A$ to pewna stała, ponieważ na ciało o stałej masie działa stała siła. Otrzymamy wówczas:

$\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=At|{}^2$

$\frac{v^2}{1-\frac{v^2}{v^2}}=A^2{t}^2|\cdot \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)$

$v^2=A^2{t}^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)$

$v^2=A^2{t}^2-\frac{v^2}{c^2}{A}^2{t}^2|\cdot c^2$

$c^2{v}^2=c^2{A}^2{t}^2-A^2{v}^2{t}^2|+A^2{v}^2{t}^2$

$c^2{v}^2+A^2{v}^2{t}^2=c^2{A}^2{t}^2$

$\left(c^2+A^2{t}^2\right)v^2=c^2{A}^2{t}^2|:\left(c^2+A^2{t}^2\right)$

$v^2=\frac{c^2{A}^2{t}^2}{c^2+A^2{t}^2}|\sqrt{}$

$v=\sqrt{\frac{c^2{A}^2{t}^2}{c^2+A^2{t}^2}}$

$v=\frac{cA{t}^{}}{\sqrt{c^2+A^2{t}^2}}$

Trudno nam będzie określić rodzaj funkcji, gdy mamy w liczniku i mianowniku zmienną (czas), a do tego w mianowniku jest ona pod pierwiastkiem. Spróbujmy ten wzór przekształcić w taki sposób, aby otrzymać zmienną w liczniku lub mianowniku:

$v=\frac{cAt}{\sqrt{c^2+A^2{t}^2}}$

$v=\frac{cA}{\frac{1}{t}\sqrt{c^2+A^2{t}^2}}$

$v=\frac{cA}{\sqrt{\frac{1}{t^2}\cdot \left(c^2+A^2{t}^2\right)}}$

$v=\frac{cA}{\sqrt{\frac{c^2}{t^2}+A^2}}$

Otrzymujemy zatem funkcję zależności szybkości od czasy w postaci:

$v\left(t\right)=\frac{Ac}{\sqrt{\frac{c^2}{t^2}+A^2}}$  

Otrzymana funkcja jest pewną funkcją z pierwiastkiem w mianowniku.

Obliczamy granicę funkcji $v\left(t\right)$ dla $t\to \infty$:

$\underset{t\to \infty }{\lim }v\left(t\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{Ac}{\sqrt{\frac{c^2}{t^2}+A^2}}$

Skoro $t\to \infty$ to $\frac{1}{t}\to 0$. Dlatego $\frac{c^2}{t^2}\to 0$. Wówczas:

$\underset{t\to \infty }{\lim }v\left(t\right)=\frac{Ac}{{\sqrt{0+A}}^2}=\frac{Ac}{A}=c$

Nieskończony czas działania stałej siły prowadzi do uzyskiwania przez ciało szybkości coraz bliższej maksymalnej możliwej szybkości (prędkość światła w próżni). Klasyczny wzór wiążący przyspieszenie ciała i działającą na nie siłę, dawał w rezultacie nieskończonego działania siły nieskończony przyrost szybkości ciała, co jest sprzeczne z nieprzekraczalnością stałej $c$  .

 

$\mathbf{b})$

Naszym zadaniem jest naszkicowanie wykresu zależności funkcji $v\left(t\right)$ oraz odpowiedź na jego podstawie na pytanie:

Czy przyspieszenie ciała, na które działa stała siła, jest stałe?

Aby narysować wykres należy wykonać następujące kroki:

1) Wiemy, że zgodnie z treścią zadania początkowo szybkość ciała ma zerową wartość. W poprzednim podpunkcie wyznaczyliśmy, że funkcja przy nieskończonym czasie dąży do asymptoty poziomej o wartości $c$. Oczywiście czas i szybkość nie mogą mieć wartości ujemnych. Narysujmy pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych i zaznaczmy w niej punkt $\left(0;0\right)$ oraz asymptotę poziomą:

2) Zauważmy, że dobrana w zeszycie kratka sprawia, że wartość szybkości światła w tym układzie wynosi $c=6\text{kratek}$. Załóżmy, że operujemy teraz na jednostkach długości w pionie i poziomie odpowiadających jednej kratce. Aby narysować wykres uprośćmy zależność na $v\left(t\right)$, przyjmując, że $A=1$:

$v\left(t\right)=\frac{1\cdot c}{\sqrt{\frac{c^2}{t^2}+1}}$

$v\left(t\right)=\frac{c}{\sqrt{\frac{c^2}{t^2}+1}}$

Ponieważ czas ma przedział od zera do nieskończoności to, aby wyznaczyć bieg funkcji najłatwiej będzie nam dobierać, takie $v$, aby móc na jego podstawie określać $t$. Dlatego odwrotna e tej dziedzinie będzie miała postać:

$v=\frac{c}{\sqrt{\frac{c^2}{t^2}+1}}|{}^2$

$v^2=\frac{c^2}{\frac{c^2}{t^2}+1}|\cdot \frac{\frac{c^2}{t^2}+1}{v^2}$

$\frac{c^2}{t^2}+1=\frac{c^2}{v^2}|-1$

$\frac{c^2}{t^2}=\frac{c^2}{v^2}-1|\cdot \frac{t^2}{\frac{c^2}{v^2}-1}$

$\frac{c^2}{\frac{c^2}{v^2}-1}=t^2$

Odwracamy prawą z lewą stroną działania i pierwiastkujemy je stronami:

$t=\frac{c}{\sqrt{\frac{c^2}{v^2}-1}}$

Pomińmy teraz kratkę jako jednostkę. Niech $c=6$ (w domyśle kratek), a $v=1$ (w domyśle kratka). Stąd:

$t=\frac{6}{\sqrt{\frac{6^2}{1^2}-1}}=\frac{6}{\sqrt{\frac{36}{1}-1}}=\frac{6}{\sqrt{36-1}}=$

$=\frac{6}{\sqrt{35}}\approx \frac{6}{5,92}\approx 1,0$

Zaznaczmy na wykresie punkt $\left(1,0;1\right)$:

3) Wyznaczmy podobnie kilka następnych punktów, przez które będzie przebiegał wykres:

▶ dla $v=2$ mamy:

$t=\frac{6}{\sqrt{\frac{6^2}{2^2}-1}}=\frac{6}{\sqrt{\frac{36}{4}-1}}=\frac{6}{\sqrt{9-1}}=$

$=\frac{6}{\sqrt{8}}\approx \frac{6}{2,83}\approx 2,1$

▶ dla $v=3$ mamy:

$t=\frac{6}{\sqrt{\frac{6^2}{3^2}-1}}=\frac{6}{\sqrt{\frac{36}{9}-1}}=\frac{6}{\sqrt{4-1}}=$

$=\frac{6}{\sqrt{3}}\approx \frac{6}{1,73}\approx 3,5$

▶ dla $v=4$ mamy:

$t=\frac{6}{\sqrt{\frac{6^2}{4^2}-1}}=\frac{6}{\sqrt{\frac{36}{16}-1}}=\frac{6}{\sqrt{2,25-1}}=$

$=\frac{6}{\sqrt{1,25}}\approx \frac{6}{1,12}\approx 5,4$

▶ dla $v=5$ mamy:

$t=\frac{6}{\sqrt{\frac{6^2}{5^2}-1}}=\frac{6}{\sqrt{\frac{36}{25}-1}}=\frac{6}{\sqrt{1,44-1}}=$

$=\frac{6}{\sqrt{0,44}}\approx \frac{6}{0,66}\approx 9,1$

Mamy wówczas punkty: $\left(2;2,1\right)$, $\left(3;3,5\right)$, $\left(4;5,4\right)$ i $\left(5;9,1\right)$. Zaznaczmy je na wykresie: 

4) Poprowadźmy przez te punkty krzywą, pamiętając że funkcja  $v\left(t\right)$   dąży do asymptoty poziomej o wartości $c$  :

Odpowiedzmy teraz na pytanie postawione w zadaniu: 

Zauważmy, że z każdym przedziałem szybkości (z każdą pionową kratką) wzrasta czas przypadający na ten przedział. Oznacza to, że ciało porusza się coraz wolniej. Zatem przyspieszenie ciała, na które działa stała siła maleje z czasem.