TREŚĆ:

Zadanie 4.

Rozważamy ruch kulki szklanej w pewnej cieczy (w układzie inercjalnym, w ziemskim polu grawitacyjnym). W chwili początkowej ruchu kulka jest całkowicie zanurzona tuż pod powierzchnią cieczy, a jej prędkość początkowa jest równa zero. Od momentu jej upuszczenia w cieczy kulka opada ruchem przyśpieszonym, a wartość jej prędkości zbliża się do pewnej prędkości granicznej .
Podczas opadania kulki działają na nią trzy siły: siła wyporu cieczy ${\vec{F}}_{\text{w}}$, siła oporu ruchu ${\vec{F}}_{\text{o}}$ oraz siła grawitacji ${\vec{F}}_{\text{g}}$. Przyjmij model zjawiska, w którym wartość siły oporu działającej na kulkę zależy od wartości $v$ prędkości kulki w cieczy następująco:

$F_{\text{o}}=ARv$

gdzie $A$ jest stałym współczynnikiem liczbowym zależącym od rodzaju cieczy, $R$ jest promieniem kulki. Przyjmij także, że od pewnego momentu ruch kulki można uznać za jednostajny prostoliniowy ze stałą prędkością o wartości $v_{\max }$.

Zadanie 4.1.

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Od chwili początkowej ruchu aż do osiągnięcia stałej prędkości wartość przyśpieszenia kulki

$A.$	się zwiększa,	ponieważ wartość siły oporu działającej na kulkę	$1.$	się zwiększa.
$B.$	się zmniejsza,		$2.$	się zmniejsza.
$C.$	pozostaje stała,		$3.$	pozostaje stała.

---

Rozwiązanie:

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest poprawne dokończenie zdania. Zgodnie z treścią zadania, na kulkę działają trzy siły:

• siła grawitacji ${\vec{F}}_{\text{g}}$ zwrócona pionowo w dół,
• siła wyporu cieczy ${\vec{F}}_{\text{w}}$ zwrócona pionowo w górę,
• siła oporu ruchu ${\vec{F}}_{\text{o}}$, która działa zawsze przeciwnie do kierunku poruszania się ciała.

Zauważmy, że kulka opada, zatem porusza się w dół. Oznacza to, że wektor siły oporu ruchu ${\vec{F}}_{\text{o}}$ jest zwrócony przeciwnie, czyli do góry. Mamy więc:

• siła ${\vec{F}}_{\text{g}}$ zwrócona pionowo w dół,
• siła ${\vec{F}}_{\text{w}}$ i siła ${\vec{F}}_{\text{o}}$ zwrócona pionowo w górę.

Kulka opada, zatem siła ${\vec{F}}_{\text{g}}$ zwrócona w dół ma większą wartość niż złożenie sił ${\vec{F}}_{\text{w}}$ i ${\vec{F}}_{\text{o}}$. Zgodnie z treścią zadania kulka opada ruchem przyspieszonym. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona wiemy, że jeżeli na ciało działa niezerowa wypadkowa siła, to ciało porusza się ruchem zmiennym:

II ZASADA DYNAMIKI $m\vec{a}=\vec{F}$  gdzie: $m$ - masa ciała, $\vec{a}$ - przyspieszenie ciała, $\vec{F}$ - siła wypadkowa działająca na ciało.

Wartość przyspieszenia opisuje zatem wzór:

$a=\frac{F_{\text{wyp.}}}{m}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$F_{\text{wyp.}}$ - wartość siły wypadkowej,

$m$ - masa ciała.

Uwzględniając zwroty sił oraz fakt, że siła ${\vec{F}}_{\text{g}}$ ma największą wartość, ponieważ kulka opada na dno, zapiszemy, że wzór na wartość siły wypadkowej przyjmuję postać:

$F_{\text{wyp.}}=F_{\text{g}}-F_{\text{w}}-F_{\text{o}}$

Wówczas wzór na wartość przyspieszenia przyjmuję postać:

$a=\frac{F_{\text{g}}-F_{\text{w}}-F_{\text{o}}}{m}$

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru: $F_{\text{g}}=mg$  gdzie: $F_{\text{g}}$ - wartość siły ciężkości, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

SIŁA WYPORU Siła wyporu działająca na ciało zanurzone w płynie jest skierowana pionowo do góry – przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało: $F_{\text{w}}=dgV$  gdzie:  $F_{\text{w}}$ - wartość siły wyporu, $d$ - gęstość cieczy, w której znajduje się ciało,   $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,   $V$ - objętość wypartej cieczy równa objętości części ciała zanurzonej w płynie.

Rozważamy ruch kulki od chwili, w której jest całkowicie zanurzona, zatem zanurzona objętość kulki jest równa jej całkowitej objętości, którą opisuje wzór:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$

gdzie:

$\pi$ - liczba pi,

$R$ - promień kuli.

Wracamy do wzoru na wartość przyspieszenia:

$a=\frac{F_{\text{g}}-F_{\text{w}}-F_{\text{o}}}{m}$

Podstawiamy wzór na wartość siły grawitacji, wzór na wartość siły wyporu cieczy oraz wzór na wartość siły oporu ruchu, który został podany w treści zadania:

$a=\frac{mg-d_{c}g\frac{4}{3}\pi R^3-ARv}{m}$

$a=\frac{\cancel{m}g}{\cancel{m}}-\frac{4}{3}\frac{d_{c}g{R}^3}{m}-\frac{AR}{m}v$

$a=g-\frac{4}{3}\frac{d_c{R}^3}{m}g-\frac{AR}{m}v$

$a=\underset{\alpha }{\underbrace{\left(1-\frac{4}{3}\frac{d_c{R}^3}{m}\right)}}g-\underset{\beta }{\underbrace{\frac{AR}{m}}}v$

Przyjmujemy, że gęstość cieczy, promień kuli oraz jej masa nie zmieniają się z czasem, zatem możemy zapisać, że zależność na wartość przyspieszenia kuli od wartości jej prędkości przyjmuję postać:

$a=\alpha g-\beta v$

gdzie:

$\alpha ,\beta$ - dodatnie stałe.

Zauważmy, że wartość przyspieszenia jest liniową, malejącą funkcją zależną od wartości prędkości kuli. Maksymalną wartość przyspieszenia kula osiąga w chwili rozpoczęcia ruchu, czyli gdy $v=0$:

$a_{\max }=\alpha g$

Natomiast w chwili, gdy kulka osiąga maksymalną wartość prędkości $v_{\max }$, zgodnie z treścią zadania, zaczyna poruszać się ruchem jednostajnym prostoliniowym, czyli przyspieszenie ma wartość:

$a\left(v_{\max }\right)=0$

Wynika więc z tego, że od chwili początkowej aż do osiągnięcia stałej prędkości wartość przyspieszenia kulki maleje. Zauważmy, że wartość przyspieszenia maleje, ponieważ wartość siły wypadkowej maleje, ponieważ wraz ze zwiększającą się wartością prędkości rośnie wartość siły oporu ${\vec{F}}_{\text{o}}$,  która działa na kulkę.

 Odpowiedź: 

Od chwili początkowej ruchu aż do osiągnięcia stałej prędkości wartość przyśpieszenia kulki B. się zmniejsza, ponieważ wartość siły oporu działającej na kulkę 1. się zwiększa.