Okres obrotu wokół wspólnego...- Zadanie 11.6.15.: Zrozumieć fizykę 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$T = 100 dni = 2400 h = 8640000 s = 8, 64 \cdot 10^{6} s$

$v_{1} = 13 \frac{km}{s} = 13 \cdot 10^{3} \frac{m}{s} = 1, 3 \cdot 10^{4} \frac{m}{s}$

$v_{2} = 26 \frac{km}{s} = 26 \cdot 10^{3} \frac{m}{s} = 2, 6 \cdot 10^{4} \frac{m}{s}$

Przyjmujemy, że stała grawitacji wynosi:

$G = 6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}}$

Obliczamy masy gwiazd

Gwiazdy tworzą układ podwójny ciał poruszających się po okręgach. Okresy $T$ obiegu dla każdej z gwiazd są takie same.

Prędkości liniowe gwiazd możemy wyrazić jako:

$v_{1} = \frac{2 π r _{1}}{T} oraz v_{2} = \frac{2 π r _{2}}{T}$

$v_{1}, v_{2} - pr ę dko \overset{s}{ˊ} ci liniowe gwiazd$

$r_{1}, r_{2} - odleg ł o \overset{s}{ˊ} ci gwiazd od \overset{s}{ˊ} rodka masy$

$T - okres obiegu gwiazd$

Stąd odległości gwiazd od środka masy będą równe:

$v_{1} T = 2 π r_{1} oraz v_{2} T = 2 π r_{2}$

$r_{1} = \frac{T v _{1}}{2 π} oraz r_{2} = \frac{T v _{2}}{2 π}$

Odległość gwiazd od siebie będzie miała postać:

$r = r_{1} + r_{2}$

$r = \frac{T v _{1}}{2 π} + \frac{T v _{2}}{2 π}$

$r = \frac{T v _{1} + T v _{2}}{2 π}$

$r = \frac{T ( v _{1} + v _{2} )}{2 π}$

Gwiazdy poruszają się po orbitach kołowych. Na każdą gwiazdę będzie działa siła grawitacji, która pełni rolę siły dośrodkowej. Siłę dośrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_{d} = \frac{m \cdot v ^{2}}{r}$

$m - masa cia ł a poruszaj ą cego si ę po okr ę gu$

$v - pr ę dko \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} liniowa cia ł a$

$r - promie \overset{n}{ˊ} okr ę gu$

Wówczas siła dośrodkowa dla pierwszej gwiazdy będzie miała postać:

$F_{d 1} = \frac{m _{1} \cdot v _{1}^{2}}{r _{1}}$

Natomiast siła dośrodkowa drugiej gwiazdy będzie miała postać:

$F_{d 2} = \frac{m _{2} \cdot v _{2}^{2}}{r _{1}}$

Siłę grawitacji przedstawiamy wzorem:

$F_{g} = G \cdot \frac{m _{1} \cdot m _{2}}{r ^{2}}$

$G - sta ł a grawitacji$

$m_{1}, m_{2} - masy oddzia ł uj ą cych grawitacyjnie cia ł$

$r - odleg ł o \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} mi ę dzy \overset{s}{ˊ} rodkami cia ł$

Wówczas siła grawitacji gwiazd będzie miała postać:

$F_{g 1} = F_{g 2} = G \cdot \frac{m _{1} \cdot m _{2}}{r ^{2}}$

Porównujemy siłę grawitacji z siłą dośrodkową:

$F_{g 1} = F_{d 1}$

$G \cdot \frac{m _{1} \cdot m _{2}}{r ^{2}} = \frac{m _{1} \cdot v _{1}^{2}}{r _{1}} ∣ : m_{1}$

$G \cdot \frac{m _{2}}{r ^{2}} = \frac{v _{1}^{2}}{r} ∣ \cdot r^{2}$

$G \cdot m_{2} = v_{1}^{2} \cdot \frac{r ^{2}}{r _{1}} ∣ : G$

$m_{2} = \frac{v _{1}^{2}}{G} \cdot \frac{r ^{2}}{r _{1}}$

$m_{2} = \frac{v _{1}^{2}}{G} \cdot \frac{( \frac{T \cdot ( v _{1} + v _{2} )}{2 \cdot π} ) ^{2}}{\frac{T \cdot v _{1}}{2 \cdot π}}$

$m_{2} = \frac{v _{1}^{2}}{G} \cdot \frac{\frac{T ^{2} \cdot ( v _{1} + v _{2} ) ^{2}}{( 2 \cdot π ) ^{2}}}{\frac{T \cdot v _{1}}{2 \cdot π}}$

$m_{2} = \frac{v _{1}^{2}}{G} \cdot \frac{T ^{2} \cdot ( v _{1} + v _{2} ) ^{2}}{( 2 \cdot π ) ^{2}} \cdot \frac{2 \cdot π}{T \cdot v _{1}}$

$m_{2} = \frac{v _{1} \cdot ( v _{1} + v _{2} ) ^{2} \cdot T}{2 \cdot π \cdot G}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$m_{2} = \frac{1 , 3 \cdot 10 ^{4} \frac{m}{s} \cdot ( 1 , 3 \cdot 10 ^{4} \frac{m}{s} + 2 , 6 \cdot 10 ^{4} \frac{m}{s} ) ^{2} \cdot 8 , 64 \cdot 10 ^{6} s}{2 \cdot 3 , 14 \cdot 6 , 67 \cdot 10 ^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}}} = \frac{1 , 3 \cdot 10 ^{4} \frac{m}{s} \cdot ( 3 , 9 \cdot 10 ^{4} \frac{m}{s} ) ^{2} \cdot 8 , 64 \cdot 10 ^{6} s}{41 , 8876 \cdot 10 ^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}}} =$

$= \frac{1 , 3 \cdot 10 ^{4} \frac{m}{s} \cdot 15 , 21 \cdot 10 ^{8} \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \cdot 8 , 64 \cdot 10 ^{6} s}{41 , 8876 \cdot 10 ^{- 11} \frac{kg \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot m ^{2}}{kg ^{2}}} = \frac{170 , 83872 \cdot 10 ^{18} \frac{m ^{3}}{s ^{2}}}{41 , 8876 \cdot 10 ^{- 11} \frac{\frac{m ^{3}}{s ^{2}}}{kg}} \approx 4, 1 \cdot 10^{29} kg$

W analogiczny sposób wyznaczamy masę pierwszej gwiazdy:

$F_{g 2} = F_{o d 2}$

$G \cdot \frac{m _{1} \cdot m _{2}}{r ^{2}} = \frac{m _{2} \cdot v _{2}^{2}}{r _{2}} ∣ : m_{2}$

$G \cdot \frac{m _{1}}{r ^{2}} = \frac{v _{2}^{2}}{r _{2}} ∣ \cdot r^{2}$

$G \cdot m_{1} = v_{2}^{2} \cdot \frac{r ^{2}}{r _{2}} ∣ : G$

$m_{1} = \frac{v _{2}^{2}}{G} \cdot \frac{r ^{2}}{r _{2}}$

$m_{1} = \frac{v _{2}^{2}}{G} \cdot \frac{( \frac{T \cdot ( v _{1} + v _{2} )}{2 \cdot π} ) ^{2}}{\frac{T \cdot v _{2}}{2 \cdot π}}$

$m_{1} = \frac{v _{2}^{2}}{G} \cdot \frac{\frac{T ^{2} \cdot ( v _{1} + v _{2} ) ^{2}}{( 2 \cdot π ) ^{2}}}{\frac{T \cdot v _{2}}{2 \cdot π}}$

$m_{1} = \frac{v _{2}^{2}}{G} \cdot \frac{T ^{2} \cdot ( v _{1} + v _{2} ) ^{2}}{( 2 \cdot π ) ^{2}} \cdot \frac{2 \cdot π}{T \cdot v _{2}}$

$m_{1} = \frac{v _{2} \cdot ( v _{1} + v _{2} ) ^{2} \cdot T}{2 \cdot π \cdot G}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$m_{1} = \frac{2 , 6 \cdot 10 ^{4} \frac{m}{s} \cdot ( 1 , 3 \cdot 10 ^{4} \frac{m}{s} + 2 , 6 \cdot 10 ^{4} \frac{m}{s} ) ^{2} \cdot 8 , 64 \cdot 10 ^{6} s}{2 \cdot 3 , 14 \cdot 6 , 67 \cdot 10 ^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}}} = \frac{2 , 6 \cdot 10 ^{4} \frac{m}{s} \cdot ( 3 , 9 \cdot 10 ^{4} \frac{m}{s} ) ^{2} \cdot 8 , 64 \cdot 10 ^{6} s}{41 , 8876 \cdot 10 ^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}}} =$

$= \frac{2 , 6 \cdot 10 ^{4} \frac{m}{s} \cdot 15 , 21 \cdot 10 ^{8} \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \cdot 8 , 64 \cdot 10 ^{6} s}{41 , 8876 \cdot 10 ^{- 11} \frac{kg \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot m ^{2}}{kg ^{2}}} = \frac{341 , 67744 \cdot 10 ^{18} \frac{m ^{3}}{s ^{2}}}{41 , 8876 \cdot 10 ^{- 11} \frac{\frac{m ^{3}}{s ^{2}}}{kg}} \approx 8, 2 \cdot 10^{29} kg$

Obliczamy stosunek energii kinetycznych gwiazd

Energie kinetyczną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_{k} = \frac{m \cdot v ^{2}}{2}$

Energia kinetyczna pierwszej gwiazdy będzie miała postać:

$E_{k 1} = \frac{m _{1} \cdot v _{1}^{2}}{2}$

Natomiast energia kinetyczna drugiej gwiazdy będzie miała postać:

$E_{k 2} = \frac{m _{2} \cdot v _{2}^{2}}{2}$

Wówczas stosunek energii będzie wynosił:

$\frac{E _{k 2}}{E _{k 1}} = \frac{\frac{m _{2} \cdot v _{2}^{2}}{2}}{\frac{m _{1} \cdot v _{1}^{2}}{2}}$

$\frac{E _{k 2}}{E _{k 1}} = \frac{m _{2} \cdot v _{2}^{2}}{m _{1} \cdot v _{1}^{2}}$

$\frac{E _{k 2}}{E _{k 1}} = \frac{\frac{v _{1} \cdot ( v _{1} + v _{2} ) ^{2} \cdot T}{2 \cdot π \cdot G} \cdot v _{2}^{2}}{\frac{v _{2} \cdot ( v _{1} + v _{2} ) ^{2} \cdot T}{2 \cdot π \cdot G} \cdot v _{1}^{2}}$

$\frac{E _{k 2}}{E _{k 1}} = \frac{\frac{v _{1} \cdot ( v _{1} + v _{2} ) ^{2} \cdot T \cdot v _{2}^{2}}{2 \cdot π \cdot G}}{\frac{v _{2} \cdot ( v _{1} + v _{2} ) ^{2} \cdot T \cdot v _{1}^{2}}{2 \cdot π \cdot G}}$

$\frac{E _{k 2}}{E _{k 1}} = \frac{v _{1} \cdot ( v _{1} + v _{2} ) ^{2} \cdot T \cdot v _{2}^{2}}{2 \cdot π \cdot G} \cdot \frac{2 \cdot π \cdot G}{v _{2} \cdot ( v _{1} + v _{2} ) ^{2} \cdot T \cdot v _{1}^{2}}$

$\frac{E _{k 2}}{E _{k 1}} = \frac{v _{1} \cdot v _{1} + v _{2} ^{2} \cdot T \cdot v _{2}^{2}}{2 \cdot π \cdot G} \cdot \frac{2 \cdot π \cdot G}{v _{2} \cdot v _{1} + v _{2} ^{2} \cdot T \cdot v _{1}^{2}}$