Dane:

$M_U=k{M}_Z$

$k=14,5$

$R_U=n{R}_Z$

$n=4$

$v_{\text{IIZ}}=11,2\frac{\text{km}}{\text{s}}$

Szukane:

$v_{\text{IIU}}=?$

Rozwiązanie:      

Energię kinetyczną jaką należy nadać ciału na powierzchni planety, aby opuściło ono pole grawitacyjne tej planety wyrazimy jako:

$E_k=\frac{m{v}_{\text{II}}^2}{2}$

$m-\text{masa ciała}$

$v_{\text{II}}-\text{druga prędkosˊcˊ kosmiczna}$   

 

Energię potencjalną grawitacji ciała na powierzchni planety wyrażamy jako:

$E_p=-\frac{GMm}{R}$

$G-\text{stała grawitacji}$

$M-\text{masa planety}$

$R-\text{promienˊ planety}$    

 

Początkowa energia całkowita $E_1$   ciała na planecie będzie równa sumie energii potencjalnej $E_{p1}$   i kinetycznej ciała  $E_{k1}$  :

$E_1=E_{p1}+E_{k1}$  

$E_1=-\frac{GMm}{R}+\frac{m{v}_{\text{II}}^2}{2}$  

 

Energia całkowita $E_2$   ciała przeniesionego poza obszar przyciągania grawitacyjnego Ziemi będzie równa zero (na ciało działa zerowa siła grawitacji).

$E_2=0$  

 

Korzystając z zasady zachowania energii zapisujemy:

$E_1=E_2$

$-\frac{GMm}{R}+\frac{m{v}_{\text{II}}^2}{2}=0$

 

Wyznaczmy prędkość $v_{\text{II}}$   jaką musi osiągnąć to ciało, aby opuścić pole grawitacyjne planety:

$\frac{m{v}_{\text{II}}^2}{2}=\frac{GMm}{R}$  

$\frac{v_{\text{II}}^2}{2}=\frac{GM}{R}$  

$v_{\text{II}}^2=\frac{2GM}{R}$  

$v_{\text{II}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$  

 

Druga prędkość kosmiczna dla Ziemi:

$v_{\text{IIZ}}=\sqrt{\frac{2G{M}_Z}{R_Z}}$  

Druga prędkość kosmiczna dla Urana:

$v_{\text{IIU}}=\sqrt{\frac{2G{M}_U}{R_U}}$  

$v_{\text{IIU}}=\sqrt{\frac{2G\cdot k{M}_Z}{n{R}_Z}}$  

Stąd:

$v_{\text{IIU}}=\sqrt{\frac{k}{n}}\cdot \sqrt{\frac{2G{M}_Z}{R_Z}}$  

$v_{\text{IIU}}=\sqrt{\frac{k}{n}}\cdot v_{\text{IIZ}}$  

$v_{\text{IIU}}=\sqrt{\frac{14,5}{4}}\cdot 11,2\frac{\text{km}}{\text{s}}\approx 21,3\frac{\text{km}}{\text{s}}$