Co należy wykazać: 

Naszym zadaniem jest udowodnić, że równanie zwierciadła można przedstawić za pomocą wzoru Newtona:

$z_1{z}_2=f^2$  

gdzie:

$z_1$  - odległość przedmiotu od ogniska zwierciadła, 

$z_2$  - odległość obrazu od ogniska zwierciadła,

$f$  - ogniskowa zwierciadła. 

 

 Dowód: 

Równanie zwierciadła wynikające z jego geometrycznej budowy ma postać:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$  

gdzie:

$f$  - ogniskowa zwierciadła, 

$x$  - odległość przedmiotu od zwierciadła, 

$y$  - odległość obrazu od zwierciadła. 

Równanie te przyjmuje dodatnie parametry, gdy zakładamy, że mamy zwierciadło wklęsłe oraz powstały obraz jest rzeczywisty. 

Skoro powstały obraz jest rzeczywisty to przedmiot został umieszczony w odległości większej niż ogniskowa zwierciadła:

$x\text{ > }f$  

Oznacza to, że powstający w tym zwierciadle obraz:

▶ gdy $f\text{ < }x\text{ < }2f$  jest rzeczywisty, powiększony i odwrócony oraz w odległości większej niż środek krzywizny zwierciadła (dwukrotność ogniskowej)  $y\text{ > }2f$ ,  

▶ gdy $x=2f$  jest rzeczywisty, tych samych rozmiarów i odwrócony, czyli  $y=2f$ ,  

▶ gdy $2f\text{ < }x$  jest rzeczywisty, pomniejszony i odwrócony oraz w odległości większej niż środek krzywizny zwierciadła $2f\text{ > }y\text{ > }f$  .

Z powyższego wynika, że obraz powstaje w zwierciadle zawsze w większej odległości niż znajduje się ognisko:

$y\text{ > }f$  

Wykonajmy neutralny rysunek pomocniczy:

Z rysunku możemy zauważyć, że:

$x=f+z_1$  

$y=f+z_2$  

Wówczas przekształcając równanie soczewki możemy zapisać, że:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$  

$\frac{1}{f}=\frac{1}{f+z_1}+\frac{1}{f+z_2}\mid \cdot f\left(f+z_1\right)\left(f+z_2\right)$  

$\frac{f\left(f+z_1\right)\left(f+z_2\right)}{f}=\frac{f\left(f+z_1\right)\left(f+z_2\right)}{f+z_1}+\frac{f\left(f+z_1\right)\left(f+z_2\right)}{f+z_2}$  

$\left(f+z_1\right)\left(f+z_2\right)=f\left(f+z_2\right)+f\left(f+z_1\right)$  

$f^2+f{z}_2+f{z}_1+z_1{z}_2=f^2+f{z}_2+f^2+f{z}_1$  

$\sout{f^2+f{z}_2+f{z}_1}+z_1{z}_2=f^2+\sout{f{z}_2+f^2+f{z}_1}$  

$z_1{z}_2=f^2$  

Co należało wykazać!