Dane:

$p=4$

$d=30\text{cm}$  

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$x=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie odległości przedmiotu od zwierciadła wklęsłego. Wiemy, że otrzymany w tym zwierciadle obraz przedmiotu jest powiększony i odwrócony, a zatem jest to również obraz rzeczywisty. Oznacza to, że przedmiot znajduje się pomiędzy ogniskiem, a środkiem zwierciadła. 

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie:

$x$ - odległość przedmiotu od zwierciadła, 

$y$ - odległość obrazu od zwierciadła,

$d$ - odległość pomiędzy przedmiotem i obrazem, 

$h$ - wysokość przedmiotu, 

$H$ - wysokość obrazu.

Zauważmy, że pomiędzy poszczególnymi odległościami spełniona jest zależność:

$x+d=y$

Znamy powiększenie obrazu, które możemy przedstawić jako iloraz wysokości obrazu i przedmiotu:

$p=\frac{H}{h}$

gdzie:

$p$ - powiększenie obrazu.

Korzystając z twierdzenia Talesa możemy zauważyć, że stosunek odległości przedmiotu od zwierciadła do jego wysokości ma się, jak stosunek odległości obrazu od zwierciadła do jego wysokości:

$\frac{x}{h}=\frac{y}{H}$

Wówczas otrzymamy równanie:

$\frac{x}{h}=\frac{y}{H}|\cdot H$

$x\frac{H}{h}=y$

$xp=y$

$xp=x+d|-x$

$xp-x=d$

$x\left(p-1\right)=d|:\left(p-1\right)$

$x=\frac{d}{p-1}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x=\frac{30\text{cm}}{4-1}=\frac{30\text{cm}}{3}=10\text{cm}$

Odpowiedź: Odległość przedmiotu od zwierciadła wynosiła 10 cm.

 

$\mathbf{b})$  

Szukane:

$r=?$

Rozwiązanie:

Szukamy promienia krzywizny zwierciadła. Wiemy, że w przypadku zwierciadeł kulistych promień krzywizny jest równy dwukrotności odległości ogniska od krzywizny zwierciadła:

$r=2f$

gdzie:

$r$ - promień krzywizny zwierciadła, 

$f$ - długość ogniskowej zwierciadła. 

Równanie zwierciadła opisuje zależności pomiędzy odległościami przedmiotu i obrazu od zwierciadła, a długością ogniskowej. Jest ono poprawne jedynie w przybliżeniu do małych kątów. Ma ono postać:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

gdzie:

$f$ - ogniskowa zwierciadła,

$x$ - odległość przedmiotu od zwierciadła,

$y$ - odległość obrazu od zwierciadła.

Korzystając z tego równania wyznaczmy odległość ogniska od krzywizny zwierciadła:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+d}|\cdot fx\left(x+d\right)$

$\frac{\cancel{f}x\left(x+d\right)}{\cancel{f}}=\frac{f\cancel{x}\left(x+d\right)}{x}+\frac{fx\cancel{\left(x+d\right)}}{\cancel{x+d}}$

$x\left(x+d\right)=f\left(x+d\right)+fx$

$x\left(x+d\right)=f\left(x+d+x\right)$

$x\left(x+d\right)=f\left(2x+d\right)$

$\frac{d}{p-1}\left(\frac{d}{p-1}+d\right)=f\left(2\cdot \frac{d}{p-1}+d\right)$

$\frac{d}{p-1}\left(\frac{d}{p-1}+\frac{d\left(p-1\right)}{p-1}\right)=f\left(\frac{2d}{p-1}+\frac{d\left(p-1\right)}{p-1}\right)$

$\frac{d}{p-1}\cdot \frac{d+d\left(p-1\right)}{p-1}=f\cdot \frac{2d+d\left(p-1\right)}{p-1}|\cdot \left(p-1\right)$

$\frac{d}{p-1}\cdot \left(d+dp-d\right)=f\cdot \left(2d+dp-d\right)$

$\frac{d}{p-1}\cdot dp=f\cdot \left(d+dp\right)$

Wyznaczamy $d$ przed nawias z prawej strony równania i skracamy przez $d$ obustronnie:

$\frac{d}{p-1}\cdot \cancel{d}p=f\cancel{d}\left(1+p\right)$

Zamieniamy równanie stronami:

$f\left(p+1\right)=\frac{dp}{p-1}|:\left(p+1\right)$

$f=\frac{dp}{\left(p-1\right)\left(p+1\right)}$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$ otrzymamy:

$f=\frac{dp}{p^2-1}$

Wówczas promień krzywizny zwierciadła wynosi:

$r=2f$

$r=2\cdot \frac{dp}{p^2-1}$

$r=\frac{2dp}{p^2-1}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$r=\frac{2\cdot 30\text{cm}\cdot 4}{4^2-1}=\frac{240\text{cm}}{16-1}=$

$=\frac{240\text{cm}}{15}=16\text{cm}$

Odpowiedź: Promień krzywizny zwierciadła wynosi 16 cm.

 

$\mathbf{c})$  

Szukane:

$d^{\prime }=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest znalezienie odległości przedmiotu od obrazu, gdy jest czterokrotnie powiększony i prosty. Zatem powiększenie się nie zmienia. Zauważmy jednak, że skoro obraz jest powiększony i prosty to oznacza, że jest to obraz pozorny, który powstaje po drugiej stronie krzywizny zwierciadła. Wówczas odległość przedmiotu od obrazu jest sumą odległości przedmiotu od zwierciadła i odległości obrazu od zwierciadła:

$d^{\prime }=x^{\prime }+y^{\prime }$

gdzie:

$d^{\prime }$ - odległość przedmiotu od obrazu dla tego przypadku, 

$x^{\prime }$ - odległość przedmiotu od zwierciadła, 

$y^{\prime }$ - odległość obrazu od zwierciadła. 

Nie wiemy nic na temat powyższych odległości, ale możemy założyć, że mamy cały czas do czynienia z tym samym zwierciadłem. Wówczas wiemy, że jego ogniskowa wynosi:

$f=\frac{dp}{p^2-1}$

Powiększenie obrazu możemy przedstawić również jako iloraz odległości obrazu od zwierciadła i odległości przedmiotu od zwierciadła:

$p=\frac{y^{\prime }}{x^{\prime }}$

Z tego wynika, że:

$y^{\prime }=p{x}^{\prime }$

Równanie zwierciadła dla obrazu pozornego będzie miało postać:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x^{\prime }}+\frac{1}{\left(-y^{\prime }\right)}$

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x^{\prime }}-\frac{1}{y^{\prime }}$

Wówczas odległość przedmiotu od zwierciadła będziemy mogli przedstawić wzorem:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x^{\prime }}-\frac{1}{y^{\prime }}$

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x^{\prime }}-\frac{1}{p{x}^{\prime }}|\cdot fp{x}^{\prime }$

$\frac{\cancel{f}p{x}^{\prime }}{\cancel{f}}=\frac{fp\cancel{x^{\prime }}}{\cancel{x^{\prime }}}-\frac{f\cancel{p{x}^{\prime }}}{\cancel{p{x}^{\prime }}}$

$p{x}^{\prime }=fp-f$

$p{x}^{\prime }=f\left(p-1\right)|:p$

$x^{\prime }=\frac{f\left(p-1\right)}{p}$

Wówczas odległość pomiędzy przedmiotem a obrazem dla tego przypadku będzie miała postać:

$d^{\prime }=x^{\prime }+y^{\prime }$

$d^{\prime }=x^{\prime }+p{x}^{\prime }$

$d^{\prime }=\left(1+p\right)x^{\prime }$

$d^{\prime }=\left(1+p\right)\cdot \frac{f\left(p-1\right)}{p}$

$d^{\prime }=\frac{f\left(p-1\right)\left(p+1\right)}{p}$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia mamy:

$d^{\prime }=f\cdot \frac{p^2-1}{p}$

Podstawmy do zależności wzór na ogniskową:

$d^{\prime }=\frac{dp}{p^2-1}\cdot \frac{p^2-1}{p}$

$d^{\prime }=\frac{d\cancel{p}}{\xcancel{p^2-1}}\cdot \frac{\xcancel{p^2-1}}{\cancel{p}}$

$d^{\prime }=d$

Oznacza to, że:

$d^{\prime }=30\text{cm}$

Odpowiedź: Dla czterokrotnego powiększenia i obrazu prostego otrzymamy, że odległość przedmiotu od obrazu również wynosi 30 cm.