Dane:

$r=8\text{cm}$  

$p=\frac{1}{4}$  

Szukane:

$x=?$  

Rozwiązanie:

Długość ogniskowej jest równa połowie długości promienia krzywizny. Z tego wynika, że:

$f=\frac{1}{2}r$  

Powiększenie obrazu można wyrazić poprzez zależność:

$p=\frac{y}{x}$  

gdzie:

$x$  - odległość przedmiotu od zwierciadła,

$y$  - odległość obrazu od zwierciadła.

Z tego wynika, że:

$y=px$  

Mamy do czynienia ze zwierciadłem wypukłym, czyli otrzymany obraz jest pomniejszony i pozorny, a zatem znajduje się za zwierciadłem. Dla zwierciadła wypukłego powstały obraz jest pozorny oraz ognisko tego zwierciadła również jest pozorne. Korzystając z równania zwierciadła wiemy, że:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

gdzie:

$f$  - ogniskowa zwierciadła,

$x$  - odległość przedmiotu od zwierciadła,

$y$  - odległość obrazu od zwierciadła.

Dla naszego przypadku otrzymujemy, że:

$\frac{1}{-f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{-y}\mid \cdot \left(-1\right)$

$\frac{1}{f}=-\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

$\frac{1}{f}=-\frac{1}{x}+\frac{1}{px}\mid \cdot fpx$

$\frac{fpx}{f}=-\frac{fpx}{x}+\frac{fpx}{px}$

$px=-fp+f$

$px=\left(1-p\right)f$

$px=\left(1-p\right)\frac{1}{2}r\mid :p$

$x=\frac{\left(1-p\right)r}{2p}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x=\frac{\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdot 8\text{cm}}{2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{\frac{3}{\cancel{4}}\cdot 8\text{cm}}{\frac{2}{\cancel{4}}}=\frac{3\cdot \stackrel{4}{\sout{8}}\text{cm}}{\underset{1}{\sout{2}}}=12\text{cm}$  

Odpowiedź: Strzałkę umieszczono 12 cm od zwierciadła.