$\mathbf{a})$  

Przewodnik wytwarza pole magnetyczne, które działa na ramkę, a jego linie są prostopadłe do powierzchni ramki i zwrócone za powierzchnię kartki (patrz rysunek przy zadaniu). Wiemy, że wraz ze wzrostem odległości od przewodnika indukcja pola magnetycznego wytworzonego przez ten przewodnik maleje. Korzystając z reguły Lenza wiemy, że kierunek prądu indukcyjnego jest taki, że pole magnetyczne wytwarzane przez ten prąd przeciwstawia się zmianom strumienia magnetycznego, które ten prąd wywołały. W tym przypadku przeciwdziałanie zmniejszaniu się tego strumienia będzie polegało na "podtrzymaniu" tego pola. Zatem przeciwstawiające się zmianom pole magnetyczne jest prostopadłe do powierzchni ramki oraz zwrócone również za powierzchnię kartki. Oznacza to, że prąd w ramce będzie płynął zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

 

$\mathbf{b})$  

Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na chwilowe natężenie prądu wyindukowanego w ramce:

$I_R=?$

Wiemy, że ramka znajduje się w odległości $d$ od przewodnika, przy czym:

$d>\frac{a}{2}$

gdzie:

$a$ - długość krótszego boku ramki. 

W treści zadania podane mamy ponadto następujące wielkości:

▶ pole przekroju poprzecznego miedzianego drutu, z którego wykonano ramkę: $S$, 

▶ szybkość, z jaką ramka oddala się od przewodnika, w którym płynie prąd: $v$, 

▶ natężenie prądu płynącego w przewodniku: $I$, 

▶ długość dłużysz boków ramki, które są równolegle do przewodnika: $b$, 

▶ opór właściwy miedzi, z której wykonano ramkę: $\rho$. 

Skoro ramka oddala się od przewodnika, który jest źródłem pola magnetycznego działającego na ramkę i jednocześnie wiemy, że pole magnetyczne maleje wraz z odległością to wyciągamy wniosek, że strumień pola magnetycznego obejmujący ramkę będzie się zmieniać.

Jeżeli miedzianą ramkę obejmuje pole magnetyczne o zmiennym strumieniu pola magnetycznego to zgodnie z prawem indukcji elektromagnetycznej Faradaya w ramce wyindukowany zostanie prąd.

Zgodnie z prawem Ohma dla obwodów zamkniętym chwilowe natężenie prądu płynącego przez miedzianą ramkę możemy przedstawić wzorem:

$I_R=\frac{\mathcal{E}}{R}$

gdzie:

$I_R$ - natężenie prądu chwilowego płynącego w ramce, 

$\mathcal{E}$ - SEM wyindukowane w tej ramce w wyniku zmiany pola magnetycznego, 

$R$ - opór miedzianej ramki. 

Nie znamy, ani wyindukowanego SEM, ani oporu miedzianej ramki. Musimy wyznaczyć te wielkości. 

Wyznaczmy najpierw SEM. 

Korzystając z prawa indukcji elektromagnetycznej Faradaya SEM indukowane w odwodzie możemy opisać zależnością:

$\mathcal{E}=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$

gdzie:

$\Delta \Phi$ - zmiana strumienia indukcji magnetycznej,

$\Delta t$ - zmiana czasu, w jakim badamy strumień indukcji magnetycznej.

Strumień indukcji magnetycznej przedstawiamy wzorem:

$\Phi =\vec{B}\circ {\vec{S}}_R$

gdzie:

$\Phi$ - strumień indukcji magnetycznej,

$\vec{B}$ - indukcja pola magnetycznego,

${\vec{S}}_R$ - wektor normalny do powierzchni przez, którą przenika strumień.

Ponieważ mamy tutaj do czynienia z iloczynem skalarnym to otrzymujemy, że:

$\Phi =B{S}_R\cos \alpha$

gdzie:

$\Phi$ - strumień indukcji magnetycznej,

$B$ - wartość indukcji pola magnetycznego,

$S_R$ - pole powierzchni, przez którą przenika strumień,

$\alpha$ - kąt między wektorem indukcji magnetycznej a wektorem normalnym powierzchni.

W naszym przypadku przewodnik wytwarza pole magnetyczne, którego linie są prostopadłe do powierzchni ramki, czyli wektor powierzchniowy jest równoległy do wektora indukcji magnetycznej:

$\alpha =0$

Zatem:

$\Phi =B{S}_R$

Teraz przejdźmy do omówienia interesującej nas sytuacji. Załóżmy, że w chwili $t$ ramka znajduję się w odległości $d$ od przewodnika przez, który płynie prąd:

Po bardzo krótkim czasie $\Delta t$ ramka oddaliła się od przewodnika poruszając ze stałą prędkością $v$.

Zgodnie ze wzorem na drogę w ruchu jednostajnym zapiszemy, że odległość jaką pokonało każde z boków ramki opisuje wzór:

$\Delta s=v\Delta t$

gdzie:

$\Delta t$ - czas w jakim ramka się porusza. 

Zauważmy, że zmianę strumienia indukcji magnetycznej określamy jako różnicę strumienia indukcji magnetyczneej na końcu i na początku:

$\Delta \Phi ={\Phi }_k-{\Phi }_p$

gdzie:

$\Delta \Phi$ - zmiana strumienia indukcji magnetycznej,

${\Phi }_k$ - strumień indukcji magnetycznej na końcu,

${\Phi }_p$ - strumień indukcji magnetycznej na początku.

Na rysunku możemy określić odpowiednie obszary:

gdzie:

$\Phi$ - wspólna część strumienia indukcji magnetycznej dla ramki w położeniu początkowym i końcowym,

$\Delta {\Phi }_1,\Delta {\Phi }_2$ - strumienie indukcji magnetycznej przepływające przez niewielkie obszary wynikające z przesunięcia ramki.

Wówczas zapiszemy, że:

${\Phi }_p=\Phi +\Delta {\Phi }_1$

${\Phi }_k=\Phi +\Delta {\Phi }_2$

Zatem zmiana strumienia indukcji magnetycznej przyjmuję wzór:

$\Delta \Phi ={\Phi }_k-{\Phi }_p$

$\Delta \Phi =\Phi +\Delta {\Phi }_2-\left(\Phi +\Delta {\Phi }_1\right)$

$\Delta \Phi =\Phi +\Delta {\Phi }_2-\Phi -\Delta {\Phi }_1$

$\Delta \Phi =\Delta {\Phi }_2-\Delta {\Phi }_1$

Zauważmy, że teraz musimy wyznaczyć strumienie indukcji magnetycznej $\Delta {\Phi }_2$ i $\Delta {\Phi }_1$. Pamiętamy, że wzór na strumień indukcji magnetycznej w naszym przypadku przyjmuję ogólny wzór:

$\Phi =B{S}_R$

Przyjmujemy, że czas $\Delta t$ w jakim ramka się przesuwała i pokonała odległość $\Delta s$ jest na tyle mały, że pole magnetyczne, które przepływa jest jednorodne (stałe):

Zatem na obszarze zakreślanym przez $\Delta s$ i $b$ bliższym przewodnika indukcja pola magnetycznego wynosi $B_1$, natomiast na obszarze zakreślanym przez $\Delta s$ i $b$ dalszym od przewodnika indukcja pola magnetycznego wynosi $B_2$. Pole powierzchni, przez którą przenika strumień w obszarze bliżej i dalej od przewodnika jest takie samo. Zapiszemy, że wzór na pole powierzchni tego obszaru przyjmuję postać:

$S_R=\Delta sb$

$S_R=v\Delta tb$

Skoro wiemy, że w obszarze bliżej przewodnika indukcja pola magnetycznego wynosi $B_1$, a pole tego obszaru wynosi $S_R$ to strumień indukcji magnetycznej przenikająca przez ten obszar opisuje wzór:

$\Delta {\Phi }_1=B_1{S}_R$

$\Delta {\Phi }_1=B_{1}v\Delta tb$

Natomiast wzór na strumień indukcji magnetycznej przenikający przez obszar dalej od przewodnika przyjmuję postać:

$\Delta {\Phi }_2=B_2{S}_R$

$\Delta {\Phi }_2=B_{2}v\Delta tb$

Teraz przechodzimy do opisania wzoru na indukcję magnetyczną w każdym z tych obszarów.

Wartość indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez bardzo długi prostoliniowy przewodnik w pewnej odległości od tego przewodnika przedstawiamy wzorem:

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

gdzie:

$B$ - wartość indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez prostoliniowy przewodnik,

${\mu }_0$ - przenikalność magnetyczna próżni,

$I$ - natężenie prądu płynącego przez przewodnik,

$r$ - odległość punktu, w którym badamy indukcję pola magnetycznego od osi przewodnika.

Komentarz nauczyciela - nie jest on częścią rozwiązania zadania! Przyjęliśmy, że czas ruchu ramki $\Delta t$ jest na tyle krótki, że indukcja pola magnetycznego $B_1$ i $B_2$ jest jednorodna w każdym z obszarów. Dzięki temu interesuje nas indukcja pola magnetycznego $B_1$ , która przenika przez lewy bok ramki (bliżej przewodnika) i indukcja pola magnetycznego $B_2$, która przenika przez prawy bok ramki (dalej od przewodnika).

W naszym przypadku poszczególne odległości boków ramki od przewodnika będą wynosiły:

$r_1=d-\frac{a}{2}$  

$r_2=d+\frac{a}{2}$  

Wówczas pole magnetyczne w miejscu, gdzie mamy lewy bok $b$ ramki (bliżej przewodnika) ma indukcję o wartości:

$B_1=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r_1}$

$B_1=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi \left(d-\frac{a}{2}\right)}$

Natomiast pole magnetyczne w miejscu, gdzie mamy prawy bok $b$ ramki (dalej od przewodnika) ma indukcję o wartości:

$B_2=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r_2}$

$B_2=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi \left(d+\frac{a}{2}\right)}$

Zatem strumień indukcji pola magnetycznego obejmującego lewy bok ramki ma postać:

$\Delta {\Phi }_1=B_{1}v\Delta tb$

$\Delta {\Phi }_1=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi \left(d-\frac{a}{2}\right)}v\Delta tb$

$\Delta {\Phi }_1=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi \frac{1}{2}\left(2d-a\right)}v\Delta tb$

$\Delta {\Phi }_1=\frac{{\mu }_{0}Iv\Delta tb}{\pi \left(2d-a\right)}$

Strumień indukcji pola magnetycznego obejmującego prawy bok ramki ma postać:

$\Delta {\Phi }_2=B_{2}v\Delta tb$

$\Delta {\Phi }_2=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi \left(d+\frac{a}{2}\right)}v\Delta tb$

$\Delta {\Phi }_2=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi \frac{1}{2}\left(2d+a\right)}v\Delta tb$

$\Delta {\Phi }_2=\frac{{\mu }_{0}Iv\Delta tb}{\pi \left(2d+a\right)}$

W takim przypadku zgodnie z prawem indukcji Faradaya oraz powyższymi zależnościami otrzymujemy, że:

$\mathcal{E}=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$

$\mathcal{E}=-\frac{\Delta {\Phi }_2-\Delta {\Phi }_1}{\Delta t}$

$\mathcal{E}=-\frac{\frac{{\mu }_{0}Iv\Delta tb}{\pi \left(2d+a\right)}-\frac{{\mu }_{0}Iv\Delta tb}{\pi \left(2d-a\right)}}{\Delta t}$

$\mathcal{E}=-\frac{{\mu }_{0}Iv\Delta tb}{\pi \Delta t}\left(\frac{1}{2d+a}-\frac{1}{2d-a}\right)$

$\mathcal{E}=-\frac{{\mu }_{0}Ivb}{\pi }\left(\frac{2d-a}{\left(2d+a\right)\left(2d-a\right)}-\frac{2d+a}{\left(2d+a\right)\left(2d-a\right)}\right)$

$\mathcal{E}=-\frac{{\mu }_{0}Ivb}{\pi }\cdot \frac{2d-a-\left(2d+a\right)}{\left(2d+a\right)\left(2d-a\right)}$

$\mathcal{E}=-\frac{{\mu }_{0}Ivb}{\pi }\cdot \frac{2d-a-2d-a}{{\left(2d\right)}^2-a^2}$

$\mathcal{E}=-\frac{{\mu }_{0}Ivb}{\pi }\cdot \frac{-2a}{4d^2-a^2}$

$\mathcal{E}=\frac{2{\mu }_{0}Ivab}{\pi \left(4d^2-a^2\right)}$

Wyznaczmy opór ramki. 

Opór elektryczny przewodnika wyrażamy jako:

$R=\rho \frac{l}{S}$

gdzie:

$R$ - opór elektryczny przewodnika,

$\rho$ - opór właściwy materiału, z którego wykonany jest przewodnik,

$l$ - długość przewodnika,

$S$ - pole przekroju poprzecznego przewodnika.

Całkowita długość przewodnika jest obwodem ramki i wynosi:

$l=2a+2b$  

Opór ramki będzie zatem wynosił:

$R=\rho \frac{l}{S}$

$R=\rho \frac{\left(2a+2b\right)}{S}$

$R=\frac{2\rho \left(a+b\right)}{S}$

Wówczas natężenie chwilowe prądu wyindukowanego w ramce wynosi:

$I_R=\frac{\mathcal{E}}{R}$

$I_R=\frac{\frac{2{\mu }_{0}Ivab}{\pi \left(4d^2-a^2\right)}}{\frac{2\rho \left(a+b\right)}{S}}$

$I_R=\frac{\cancel{2}{\mu }_{0}Ivab}{\pi \left(4d^2-a^2\right)}\cdot \frac{S}{\cancel{2}\rho \left(a+b\right)}$

$I_R=\frac{{\mu }_{0}Ivab}{\pi \left(4d^2-a^2\right)}\cdot \frac{S}{\rho \left(a+b\right)}$

Możemy zapisać to równanie w postaci:

$I_R=\frac{{\mu }_{0}bvSI}{\pi \rho \left(a+b\right)}\cdot \frac{a}{4d^2-a^2}$  

 

$\mathbf{c})$  

Ze wzoru wyznaczonego w podpunkcie $\mathbf{b})$ wynika, że natężenie prądu w ramce jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości ramki od przewodnika:

$I_R\sim \frac{1}{d^2}$

Zatem im bardziej wzrasta odległość ramki od przewodnika tym mniejsze jest natężenie prądu w ramce.

 

$\mathbf{d})$

Dane:

$I=6\text{A}$

$a=4\text{cm}=0,04\text{m}$

$b=8\text{cm}=0,08\text{m}$

$d=6\text{cm}=0,06\text{m}$

$S=1,2{\text{mm}}^2=1,2\cdot 10^{-6}{\text{m}}^2$

$v=0,3\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$\rho =1,8\cdot 10^{-8}\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ przenikalność magnetyczna próżni: ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\text{N}}{{\text{A}}^2}$.

Szukane:

$I_R=\text{?}$

Rozwiązanie:

W podpunkcie $\mathbf{b})$ wyznaczyliśmy wzór na natężenie prądu płynącego przez ramkę:

$I_R=\frac{{\mu }_{0}bvSI}{\pi \rho \left(a+b\right)}\cdot \frac{a}{4d^2-a^2}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$I_R=\frac{4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\text{N}}{{\text{A}}^2}\cdot 0,08\text{m}\cdot 0,3\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 1,2\cdot 10^{-6}{\mathrm{m}}^2\cdot 6\text{A}}{\pi \cdot 1,8\cdot 10^{-8}\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}\cdot \left(0,04\text{m}+0,08\text{m}\right)}\cdot \frac{0,04\text{m}}{4\cdot {\left(0,06\text{m}\right)}^2-{\left(0,04\text{m}\right)}^2}=$

$=\frac{4\cancel{\pi }\cdot 10^{-7}\cdot 8\cdot 10^{-2}\cdot 3\cdot 10^{-1}\cdot 1,2\cdot 10^{-6}\cdot 6}{\cancel{\pi }\cdot 1,8\cdot 10^{-8}\cdot 0,12}\frac{\frac{\mathrm{N}}{{\mathrm{A}}^2}\cdot \mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{A}}{\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}\cdot \mathrm{m}}\cdot \frac{0,04\mathrm{m}}{4\cdot 0,0036{\mathrm{m}}^2-0,0016{\mathrm{m}}^2}=$

$=\frac{4\cdot 8\cdot 3\cdot 1,2\cdot 6}{1,8\cdot 0,12}\cdot \frac{10^{-7}\cdot 10^{-2}\cdot 10^{-1}\cdot 10^{-6}}{10^{-8}}\frac{\frac{\mathrm{N}}{{\mathrm{A}}^{{\xcancel{2}}^1}}\cdot \mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \cancel{{\mathrm{m}}^2}\cdot \xcancel{\mathrm{A}}}{\mathrm{\Omega }\cdot \cancel{\mathrm{m}\cdot \mathrm{m}}}\cdot \frac{4\cdot 10^{-2}\mathrm{m}}{0,0144{\mathrm{m}}^2-0,0016{\mathrm{m}}^2}=$

$=\frac{32\cdot 3,6\cdot 6}{0,216}\cdot \frac{10^{-9}\cdot 10^{-7}}{10^{-8}}\frac{\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{s}\cdot \mathrm{\Omega }}\cdot \frac{4\cdot 10^{-2}\mathrm{m}}{0,0128{\mathrm{m}}^2}=$

$=\frac{115,2\cdot 6}{0,216}\cdot \frac{10^{-8}\cdot \cancel{10^{-8}}}{\cancel{10^{-8}}}\cdot \frac{4\cdot \bcancel{10^{-2}}\xcancel{\mathrm{m}}}{1,28\cdot \bcancel{10^{-2}}{\mathrm{m}}^{{\cancel{2}}^1}}\frac{\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{s}\cdot \mathrm{\Omega }}=$

$=\frac{691,2\cdot 4}{0,216\cdot 1,28}\cdot 10^{-8}\frac{1}{\mathrm{m}}\cdot \frac{\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{s}\cdot \mathrm{\Omega }}=$

$=\frac{2764,8}{0,27648}\cdot 10^{-8}\frac{\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^{{\xcancel{2}}^1}}{\xcancel{\mathrm{m}}\cdot \mathrm{A}\cdot \mathrm{s}\cdot \mathrm{\Omega }}=$

$=10000\cdot 10^{-8}\frac{\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{s}\cdot \mathrm{\Omega }}=$

$=10^4\cdot 10^{-8}\frac{\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{s}\cdot \mathrm{\Omega }}=10^{-4}\frac{\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{s}\mathrm{\Omega }}$

Skupmy się teraz na jednostce. Zauważmy, że:

$\left[\mathrm{J}\right]=\left[\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\right]$

$\left[\mathrm{C}\right]=\left[\mathrm{A}\cdot \mathrm{s}\right]$

$\left[\mathrm{V}\right]=\left[\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}}\right]$

$\left[\mathrm{A}\right]=\left[\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{\Omega }}\right]$

Zatem:

$I_R=10^{-4}\frac{\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{A}\cdot \mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{\Omega }}=10^{-4}\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}}\cdot \frac{1}{\mathrm{\Omega }}=$

$=10^{-4}\mathrm{V}\cdot \frac{1}{\Omega }=10^{-4}\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{\Omega }}=10^{-4}\mathrm{A}$

Wiemy, że:

$1\mathrm{A}=1000\mathrm{mA}=10^3\mathrm{mA}$

Wówczas:

$I_R=10^{-4}\cdot 1\mathrm{A}=10^{-4}\cdot 10^3\mathrm{mA}=10^{-1}\mathrm{mA}=0,1\mathrm{mA}$

Odpowiedź: Natężenie prądu przepływającego przez ramkę ma wartość 0,1 mA.