TREŚĆ:

Zadanie 3.

Sonda kosmiczna o masie m = 10⁴ kg początkowo poruszała się swobodnie (jedynie pod wpływem grawitacji) dookoła Ziemi po orbicie kołowej o promieniu r, z prędkością orbitalną o wartości v_or = 7,56 km/s (zobacz rys. 1.). W pewnym momencie włączono silniki odrzutowe sondy, odpowiednio zaprogramowane. Przez pewien czas na sondę działała siła odrzutu tak, że sonda poruszała się nadal po orbicie kołowej o promieniu r, a wartość prędkości tej sondy rosła (zobacz rys. 2.). Gdy sonda osiągnęła prędkość  ${\overrightarrow{v}}_p$  w chwili t_p, silniki odrzutowe wyłączono (zobacz rys. 3.), a sonda zaczęła się oddalać od Ziemi.

Prędkość  ${\overrightarrow{v}}_p$  uzyskana przez sondę w odległości $r$  od środka Ziemi była na tyle duża, że umożliwiała sondzie ciągłe oddalanie się od Ziemi oraz osiągnięcie w bardzo dalekiej odległości (gdzie wpływ pola grawitacyjnego Ziemi jest pomijalny) stałej prędkości o wartości
v_∞= 2,00 km/s (zobacz rys. 4.). Masa Ziemi wynosi M = 5,97٠10²⁴ kg.

Do analizy zagadnienia przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:

• pomijamy oddziaływanie sondy ze Słońcem oraz innymi ciałami, a także ruch orbitalny Ziemi
• pomijamy zmianę masy sondy podczas działania silników odrzutowych
• zakładamy, że energia potencjalna sondy bardzo daleko od Ziemi – gdzie wpływ grawitacji ziemskiej jest pomijalny – wynosi zero (zobacz rys. 4.): E_pot ∞ = 0.

Zadanie 3.3.

Oblicz pracę mechaniczną, jaką wykonała siła odrzutu podczas przyśpieszania sondy w sposób opisany we wstępie do zadania.

Wskazówka: Obliczenia ułatwi wyrażenie energii mechanicznej sondy w ruchu swobodnym po orbicie kołowej poprzez jej masę 𝑚 i wartość prędkości orbitalnej v_or.

 

---

 

ROZWIĄZANIE:

Wiemy, że masa sondy, masa Ziemi, wartość prędkości sondy na orbicie oraz w nieskończoności wynosi:

$m={10}^4\text{kg}$  

$M=5,97\cdot {10}^{24}\text{kg}$  

$v_{\text{or}}=7,56\frac{\text{km}}{\text{s}}=7,56\cdot {10}^3\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$v_{\infty }=2,00\frac{\text{km}}{\text{s}}=2\cdot {10}^3\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Przyjmujemy, że wartość stałej grawitacji wynosi:

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}$  

Nie znamy promienia orbity, po jakiem poruszała się sonda, ale wiemy, że pomiędzy nią, a Ziemią oddziałuje siła grawitacji, która odpowiada sile dośrodkowej. 

Wartość siły grawitacji obliczymy zależnością:

$F_g=\frac{GmM}{r^2}$  

Natomiast wartość siły dośrodkowej wzorem: