TREŚĆ:

Zadanie 3.

Sonda kosmiczna o masie m = 10⁴ kg początkowo poruszała się swobodnie (jedynie pod wpływem grawitacji) dookoła Ziemi po orbicie kołowej o promieniu r, z prędkością orbitalną o wartości v_or = 7,56 km/s (zobacz rys. 1.). W pewnym momencie włączono silniki odrzutowe sondy, odpowiednio zaprogramowane. Przez pewien czas na sondę działała siła odrzutu tak, że sonda poruszała się nadal po orbicie kołowej o promieniu r, a wartość prędkości tej sondy rosła (zobacz rys. 2.). Gdy sonda osiągnęła prędkość  ${\overrightarrow{v}}_p$  w chwili t_p, silniki odrzutowe wyłączono (zobacz rys. 3.), a sonda zaczęła się oddalać od Ziemi.

Prędkość  ${\overrightarrow{v}}_p$  uzyskana przez sondę w odległości $r$  od środka Ziemi była na tyle duża, że umożliwiała sondzie ciągłe oddalanie się od Ziemi oraz osiągnięcie w bardzo dalekiej odległości (gdzie wpływ pola grawitacyjnego Ziemi jest pomijalny) stałej prędkości o wartości
v_∞= 2,00 km/s (zobacz rys. 4.). Masa Ziemi wynosi M = 5,97٠10²⁴ kg.

Do analizy zagadnienia przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:

• pomijamy oddziaływanie sondy ze Słońcem oraz innymi ciałami, a także ruch orbitalny Ziemi
• pomijamy zmianę masy sondy podczas działania silników odrzutowych
• zakładamy, że energia potencjalna sondy bardzo daleko od Ziemi – gdzie wpływ grawitacji ziemskiej jest pomijalny – wynosi zero (zobacz rys. 4.): E_pot ∞ = 0.

Zadanie 3.1.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość prędkości początkowej, z jaką sonda rozpoczęła oddalanie się od Ziemi, prawidłowo opisuje relacja:

 

---

 

ROZWIĄZANIE:

Uzasadnienie:

Gdy sonda kosmiczna o masie $m$  krążyła wokół Ziemi o masie $M$  i nadano jej szybkość początkową $v_p$  to w tym punkcie jej energia kinetyczna wynosiła:

$E_{kp}=\frac{1}{2}m{v}_p^2$  

Wiemy, że sonda poruszała się po orbicie o promieniu $r$ . Wówczas energia potencjalna grawitacji sondy na tej orbicie wynosi: