Dane:

$h=100\text{km}=100000\text{m}=10^5\text{m}$

$R_Z=6,37\cdot 10^6\text{m}$

Szukane:

$\delta =\text{?}$  

Rozwiązanie: 

Wektor natężenia pola grawitacyjnego zwrócony jest w stronę ciała wytwarzającego to pole i styczny do linii pola grawitacyjnego. Wartość natężenia centralnego pola grawitacyjnego wytworzonego przez ciało o masie $M$ można zapisać za pomocą wzoru:

$\gamma =\frac{GM}{r^2}$

gdzie:

$\gamma$ - wartość natężenia pola grawitacyjnego w danym punkcie, 

$G$ - stała grawitacji,

$M$ - masa ciała wytwarzającego centralne pole grawitacyjne, 

$r$ - odległość punktu, w którym rozważamy natężenie pola grawitacyjnego, od środka masy wytwarzającej to pole. 

Zapiszemy, że wartość natężenia pola grawitacyjnego na powierzchni Ziemi opisuje wzór:

${\gamma }_0=\frac{G{M}_Z}{R_Z^2}$ 

Natomiast wartość natężenia pola grawitacyjnego na wysokości $h$ nad powierzchnią Ziemi opisuje wzór:

$\gamma =\frac{G{M}_Z}{{\left(R_Z+h\right)}^2}$

Zwróćmy uwagę, że wartość natężenia grawitacyjnego jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Oznacza to, że im większa odległość $r$, tym mniejsza wartość natężenie. W naszym przypadku większa odległość od środka masy (środka Ziemi) jest na wysokości $h$ nad powierzchnią Ziemi. Wyciągamy z tego wniosek, że:

${\gamma }_0>\gamma$

Wzór na błąd względny przyjmuje postać:

$\delta =\frac{x-x_0}{x_0}\cdot 100\%$

gdzie:

$\delta$ - błąd względny,

$x$ - wartość mierzona,

$x_0$ - wartość dokładna.

W naszym przypadku przyjmujemy, że wartością dokładną jest wartość $\gamma$, natomiast wartością przyjętą za prawdziwą (tzw. wartością mierzoną) jest wartość ${\gamma }_0$. Wówczas wzór na błąd względny przyjmuję postać:

$\delta =\frac{{\gamma }_0-\gamma }{\gamma }\cdot 100\%$

$\delta =\left(\frac{{\gamma }_0}{\gamma }-\frac{\gamma }{\gamma }\right)\cdot 100\%$

$\delta =\left(\frac{{\gamma }_0}{\gamma }-1\right)\cdot 100\%$

Najpierw (dla ułatwienia obliczeń) wyznaczmy stosunek wartości natężenia ${\gamma }_0$ do wartości natężenia $\gamma$:

$\frac{{\gamma }_0}{\gamma }=\frac{\frac{G{M}_Z}{R_Z^2}}{\frac{G{M}_Z}{(R_Z+h{)}^2}}$

$\frac{{\gamma }_0}{\gamma }=\frac{\cancel{G{M}_Z}}{R_Z^2}\cdot \frac{(R_Z+h{)}^2}{\cancel{G{M}_Z}}$

$\frac{{\gamma }_0}{\gamma }=\frac{(R_Z+h{)}^2}{R_Z^2}$

$\frac{{\gamma }_0}{\gamma }={\left(\frac{R_Z+h}{R_Z}\right)}^2$

$\frac{{\gamma }_0}{\gamma }={\left(\frac{R_Z}{R_Z}+\frac{h}{R_Z}\right)}^2$

$\frac{{\gamma }_0}{\gamma }={\left(1+\frac{h}{R_Z}\right)}^2$

Wracamy do wzoru na błąd względny:

$\delta =\left(\frac{{\gamma }_0}{\gamma }-1\right)\cdot 100\%$

Wprowadzamy wyznaczony wzór:

$\delta =\left[{\left(1+\frac{h}{R_Z}\right)}^2-1\right]\cdot 100\%$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$\delta =\left[{\left(1+\frac{10^5\cancel{\text{m}}}{6,37\cdot 10^6\cancel{\text{m}}}\right)}^2-1\right]\cdot 100\%=$

$=\left[{\left(1+\frac{1}{6,37\cdot 10^1}\right)}^2-1\right]\cdot 100\%=$

$=\left[{\left(1+\frac{1}{63,7}\right)}^2-1\right]\cdot 100\%=$

$\approx \left[{\left(1+0,0157\right)}^2-1\right]\cdot 100\%=$

$=\left[{\left(1,0157\right)}^2-1\right]\cdot 100\%=$

$\approx \left[1,0316-1\right]\cdot 100\%=$

$=0,0316\cdot 100\%=3,16\%\approx 3,2\%$

Odpowiedź: Błąd względny wynosi około 3,2%.