W zadaniu podane mamy, że dla każdego przypadku:

$m=1,2kg$  

$a=1m$  

Przyjmujemy, że stała grawitacyjna wynosi:

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}$  

 

$a)$  

Wykonajmy rysunek (jest to trójkąt równoboczny, a odległość z punktu K do kulki o masie 2m jest wysokością tego trójkąta):

Natężenie od kulek, które mają masę m zrównoważą się, dlatego obliczamy natężenie pochodzące od kulki o masie 2m. Wartość natężenia pola grawitacyjnego obliczamy korzystając z wzoru:

$\gamma =\frac{GM}{r^2}$  

gdzie G jest stałą grawitacyjną, γ jest natężeniem pola grawitacyjnego ciała znajdującego się w odległości r od ciała o masie M. Dla naszego przypadku mamy, że:

$r=\frac{\sqrt{3}}{2}a$  

$M=2m$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$\gamma =\frac{G\cdot 2m}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}^2}$  

$\gamma =\frac{2Gm}{\frac{3}{4}{a}^2}$  

$\gamma =\frac{8}{3}\frac{Gm}{a^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\gamma =\frac{8}{3}\cdot \frac{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}\cdot 1,2kg}{{\left(1m\right)}^2}=$  

$=\frac{8}{3}\cdot \frac{8,004\cdot {10}^{-11}\frac{m^3}{s^2}}{1m^2}\approx$  

$\approx 21,3\cdot {10}^{-11}\frac{m}{s^2}=2,13\cdot 10\cdot {10}^{-11}kg\cdot \frac{m}{s^2}\cdot \frac{1}{kg}$  

$=2,13\cdot {10}^{-10}N\cdot \frac{1}{kg}\approx 2\cdot {10}^{-10}\frac{N}{kg}$     

 

$b)$  

Z rysunku wiemy, że:

$M_1=2m\text{ oraz }{r}_1=a$  

$M_2=2m\text{ oraz }{r}_2=2a$  

$M_3=2m\text{ oraz }{r}_3=a$  

$M_4=m\text{ oraz }{r}_4=a$    

Oznaczmy sobie:

$\gamma =\frac{Gm}{a^2}$  

Wyznaczmy wartości natężenia pochodzące od poszczególnych kulek:

${\gamma }_1=\frac{G{M}_1}{r_1^2}=\frac{G\cdot 2m}{a^2}=2\cdot \frac{Gm}{a^2}=2\gamma$     

${\gamma }_2=\frac{G{M}_2}{r_2^2}=\frac{G\cdot 2m}{{\left(2a\right)}^2}=\frac{2Gm}{4a^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{Gm}{a^2}=\frac{1}{2}\gamma$   

${\gamma }_3=\frac{G{M}_3}{r_3^2}=\frac{G\cdot 2m}{a^2}=2\frac{Gm}{a^2}=2\gamma$  

${\gamma }_4=\frac{G{M}_4}{r_4^2}=\frac{G\cdot m}{a^2}=\gamma$     

Wykonajmy rysunek:

Na rysunku wyznaczono poszczególne składowe natężenia grawitacyjnego. Z rysunku widzimy, że w pionie (oś y) masy kul oraz odległości od punktu K są takie same, czyli pionowe natężenie pola grawitacyjnego będzie wynosiło zero:

${\gamma }_{\text{pion}}={\gamma }_1-{\gamma }_3$  

${\gamma }_{\text{pion}}=2\gamma -2\gamma$  

${\gamma }_{\text{pion}}=0$  

Natomiast poziome (oś x) natężenie pola grawitacyjnego będzie wynosiło:

${\gamma }_{\text{poz}}={\gamma }_4-{\gamma }_2$  

${\gamma }_{\text{poz}}=\gamma -\frac{1}{2}\gamma$  

${\gamma }_{\text{poz}}=\frac{1}{2}\gamma$  

Wówczas otrzymujemy, że natężenie pola grawitacyjnego w punkcie K będzie wynosiło:  

${\gamma }_{24}={\gamma }_{\text{poz}}$  

${\gamma }_{24}=\frac{1}{2}\gamma$  

${\gamma }_{24}=\frac{1}{2}\frac{Gm}{a^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\gamma }_{24}=\frac{1}{2}\cdot \frac{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}\cdot 1,2kg}{{\left(1m\right)}^2}=$     

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{8,004\cdot {10}^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}\cdot kg}{1m^2}=$     

$=4,002\cdot {10}^{-11}kg\cdot \frac{m}{s^2}\cdot \frac{1}{kg}\approx 4\cdot {10}^{-11}\frac{N}{kg}$     

 

$c)$  

Tak samo jak w poprzednim podpunkcie. Z rysunku wiemy, że:   

$M_1=2m\text{ oraz }{r}_1=2a$  

$M_2=2m\text{ oraz }{r}_2=4a$  

$M_3=m\text{ oraz }{r}_3=a$  

$M_4=m\text{ oraz }{r}_4=a$  

Wyznaczamy natężenia pochodzące od poszczególnych kulek:

${\gamma }_1=\frac{G{M}_1}{r_1^2}=\frac{G\cdot 2m}{{\left(2a\right)}^2}=\frac{2Gm}{4a^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{Gm}{a^2}=\frac{1}{2}\gamma$   

${\gamma }_2=\frac{G{M}_2}{r_2^2}=\frac{G\cdot 2m}{{\left(4a\right)}^2}=\frac{2Gm}{16a^2}=\frac{1}{8}\cdot \frac{Gm}{a^2}=\frac{1}{8}\gamma$       

${\gamma }_3=\frac{G{M}_3}{r_3^2}=\frac{Gm}{a^2}=\gamma$  

${\gamma }_4=\frac{G{M}_4}{r_4^2}=\frac{Gm}{a^2}=\gamma$  

Wykonajmy rysunek:

Na rysunku wyznaczono poszczególne składowe natężenia grawitacyjnego korzystając z zasady równoległoboku. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa i powyższego rysunku wyznaczamy wartość wypadkowego natężenia pola grawitacyjnego:

${\gamma }_w^2={\gamma }_{13}^2+{\gamma }_{24}^2$  

Widzimy również, że:

${\gamma }_{13}={\gamma }_1-{\gamma }_3$  

${\gamma }_{24}={\gamma }_2-{\gamma }_4$  

Wówczas otrzymujemy, że: 

${\gamma }_w^2={\gamma }_{13}^2+{\gamma }_{24}^2$  

${\gamma }_w^2={\left({\gamma }_1-{\gamma }_3\right)}^2+{\left({\gamma }_2-{\gamma }_4\right)}^2$  

Pierwiastkujemy:

${\gamma }_w=\sqrt{{\left({\gamma }_1-{\gamma }_3\right)}^2+{\left({\gamma }_2-{\gamma }_4\right)}^2}$  

${\gamma }_w=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\gamma -\gamma \right)}^2+{\left(\frac{1}{8}\gamma -\gamma \right)}^2}$  

${\gamma }_w=\sqrt{{\left(-\frac{1}{2}\gamma \right)}^2+{\left(-\frac{7}{8}\gamma \right)}^2}$  

${\gamma }_w=\sqrt{\frac{1}{4}{\gamma }^2+\frac{49}{64}{\gamma }^2}$  

${\gamma }_w=\sqrt{\frac{16}{64}{\gamma }^2+\frac{49}{64}{\gamma }^2}$  

${\gamma }_w=\sqrt{\frac{65}{64}{\gamma }^2}$  

${\gamma }_w=\frac{\sqrt{65}}{8}\gamma$  

${\gamma }_w=\frac{\sqrt{65}}{8}\cdot \frac{Gm}{a^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\overrightarrow{\gamma }}_w=\frac{\sqrt{65}}{8}\cdot \frac{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}\cdot 1,2kg}{{\left(1m\right)}^2}\approx$  

$\approx \frac{8,06}{8}\cdot \frac{8,004\cdot {10}^{-11}kg\cdot \frac{m^3}{s^2}\cdot \frac{1}{kg}}{1m^2}=1,0075\cdot 8,004\cdot {10}^{-11}kg\cdot \frac{m}{s^2}\cdot \frac{1}{kg}=$  

$=8,06403\cdot {10}^{-11}\frac{N}{kg}\approx 8\cdot {10}^{-11}\frac{N}{kg}$