$\text{a)}$  

Wartość natężenia pięciokrotnie mniejsza niż na powierzchni Ziemi to:

$\frac{1}{5}\text{ z }10\frac{\text{N}}{\text{kg}}\text{, czyli }\frac{1}{5}\cdot 10\frac{\text{N}}{\text{kg}}=2\frac{\text{N}}{\text{kg}}$  

Wówczas z wykresu z zadnia 12.9 mamy:

Zatem mamy:

$r_1\approx 0,2R$  

$r_2\approx 2,25R$  

 

$\vee \text{b)}$  

Rozwiązanie 1:

Zadanie wykonujemy na podstawie podpunktu a). 

Przyjmijmy, że promień Ziemi wynosi:

$R=6,37\cdot {10}^6\text{m}$  

Wówczas:

$r_1\approx 0,2\cdot 6,37\cdot {10}^6\text{m}=1,274\cdot {10}^6\text{m}\approx 1,3\cdot {10}^3\text{km}\approx 1300\text{km}$  

$r_2\approx 2,25\cdot 6,37\cdot {10}^6\text{m}=14,3325\cdot {10}^6\text{m}\approx 14,3\cdot {10}^3\text{km}\approx 14300\text{km}$  

---

Rozwiązanie 2:

Zadanie wykonujemy z zależności na natężenie pola grawitacyjnego. 

Dane:

$\rho =5,52\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

$\gamma =2\frac{\text{N}}{\text{kg}}$  

Szukane:

$r_1=?$  

$r_2=?$  

Rozwiązanie:

Masa Ziemi, dla której rozważamy pole grawitacyjne zależy od tego, czy punkt znajduje się we wnętrzu Ziemi, czy w pewnej odległości od Ziemi. 

▶ Punkt znajduje się wewnątrz Ziemi.

Jeżeli punkt znajduje się we wnętrzu Ziemi to zgodnie ze wzorem podanym w zadaniu 12.7. wartość natężenia pola grawitacyjnego będzie miała postać:

$\gamma =\frac{4}{3}\pi G\rho r_1$  

gdzie:

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}$  - stała grawitacji,

$\rho$  - gęstość Ziemi, 

$r_1$  - odległość punktu w wnętrzu Ziemi, w którym rozważamy natężenie pola grawitacyjnego od środka masy wytwarzającej to pole. 

Oznacza to, że odległość tego punktu od środka Ziemi będzie miała postać:

$\frac{4}{3}\pi G\rho r_1=\gamma \mid \cdot 3$  

$4\pi G\rho r_1=3\gamma \mid :4\pi G\rho$  

$r_1=\frac{3\gamma }{4\pi G\rho }$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$r_1=\frac{3\cdot 2\frac{\text{N}}{\text{kg}}}{4\cdot 3,14\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 5,52\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}=$  

$=\frac{6\frac{\text{N}}{\text{kg}}}{462,439104\cdot {10}^{-8}\frac{\text{N}}{\text{kg}\cdot \text{m}}}=\frac{6\frac{\text{N}}{\text{kg}}}{4,62439104\cdot {10}^{-6}\frac{\text{N}}{\text{kg}}\cdot \frac{1}{\text{m}}}\approx$  

$\approx 1,297468\cdot {10}^6\text{m}\approx 1,3\cdot {10}^3\text{km}=1300\text{km}$  

▶ Punkt znajduje się w pewnej odległości od powierzchni Ziemi.

Wektor natężenia pola grawitacyjnego zwrócony jest w stronę ciała wytwarzającego to pole i styczny do linii pola grawitacyjnego. Wartość natężenia centralnego pola grawitacyjnego wytworzonego przez ciało o masie $M$  można zapisać, za pomocą wzoru:

$\gamma =\frac{GM}{r^2}$  

gdzie:

$\gamma$  - wartość natężenia pola grawitacyjnego w danym punkcie, 

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}$  - stała grawitacji,

$M$  - masa ciała wytwarzającego centralne pole grawitacyjne, 

$r$  - odległość punktu, w którym rozważamy natężenie pola grawitacyjnego od środka masy wytwarzającej to pole. 

Masę Ziemi możemy wyrazić za pomocą gęstości:

$M=\rho V$  

gdzie $V$  jest objętością i będzie miała postać:

$V=\frac{4}{3}\pi R_{\text{Z}}^3$  

Przyjmijmy, że promień Ziemi wynosi:

$R_{\text{Z}}=6,37\cdot {10}^6\text{m}$  

Wówczas:

$\gamma =\frac{GM}{r_2^2}\mid \cdot r_2^2$  

$\gamma r_2^2=GM$  

$\gamma r_2^2=G\rho V$  

$\gamma r_2^2=G\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_{\text{Z}}^3\mid :\gamma$  

$r_2^2=\frac{4\pi G\rho R_{\text{Z}}^3}{3\gamma }\mid \sqrt{}$  

$r_2=\sqrt{\frac{4\pi G\rho R_{\text{Z}}^3}{3\gamma }}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$r_2=\sqrt{\frac{4\cdot 3,14\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 5,52\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot {\left(6,37\cdot {10}^6\text{m}\right)}^3}{3\cdot 2\frac{\text{N}}{\text{kg}}}}=$  

$=\sqrt{\frac{4\cdot 3,14\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 5,52\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 258,474853\cdot {10}^{18}{\text{m}}^3}{6\frac{\text{N}}{\text{kg}}}}=$  

$=\sqrt{\frac{119528,879427851712\cdot {10}^{10}\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{\text{kg}}}{6\frac{\text{N}}{\text{kg}}}}\approx \sqrt{\frac{120000\cdot {10}^{10}\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{\text{kg}}}{6\frac{\text{N}}{\text{kg}}}}=$  

$=\sqrt{20000\cdot {10}^{10}{\text{m}}^2}=\sqrt{200\cdot {10}^{12}{\text{m}}^2}\approx 14,142\cdot {10}^6\text{m}=$  

$=14142\cdot {10}^3\text{m}=14142\text{km}$