Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego poddano przemianie...- Zadanie Zadanie 36.7: Fizyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$n = 1 mol$

$V_{A} = 6 l = 6 d m^{3} = 6 \cdot 1 0^{- 3} m^{3}$

$p_{A} = 2 \cdot 1 0^{3} hPa = 2 \cdot 1 0^{3} \cdot 1 0^{2} Pa = 2 \cdot 1 0^{5} Pa$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała gazowa: $R = 8, 31 \frac{J}{mol \cdot K}$ .

$a)$

Uzasadnienie:

Mamy wykres zależności $p (V)$ . Zauważmy, że ciśnienie gazu zmniejsza się, a jego objętość rośnie. Z wykresu zależności ciśnienia od objętości wynikają następujące zależności parametrów opisujących stan A oraz B:

▶ zależność pomiędzy objętościami

Z osi x odczytujemy, że gaz znajdujący się w stanie A odpowiada 2 kratkom:

$V_{A} = 2 kratki$

Natomiast gaz w stanie B na objętość odpowiadającą 8 kratkom:

$V_{B} = 8 kratek$

Zatem zależność pomiędzy tymi objętościami wynosi:

$\frac{V _{B}}{V _{A}} = \frac{8 kratek}{2 kratki} = 4$

Wówczas:

$V_{B} = 4 V_{A}$

▶ zależność pomiędzy ciśnieniami

Analogiczną analizę, jak dla objętości, przeprowadzamy dla ciśnienia gazów w stanie A oraz B. Odczytując z osi y widzimy, że:

$p_{A} = 8 kratek$

oraz:

$p_{B} = 4 kratki$

Zatem:

$\frac{p _{B}}{p _{A}} = \frac{4 kratek}{8 kratki} = \frac{1}{2}$

Wówczas:

$p_{B} = \frac{1}{2} p_{A}$

Znając zależności pomiędzy objętościami i ciśnieniami oraz wiedząc, że liczba moli gazu się nie zmieniła w trakcie przemiany możemy wyznaczyć zależność pomiędzy temperaturami. Do tego celu korzystamy z równania Clapeyrona:

$p V = n R T$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu,

$V$ - objętość gazu,

$n$ - liczba moli,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura gazu.

Przekształcając powyższy wzór otrzymamy wzór na temperaturę gazu:

$p V = n R T ∣ : n R$

$\frac{p V}{n R} = T$

$T = \frac{p V}{n R}$

Zatem:

▶ temperatura stanu A:

$T_{A} = \frac{p _{A} V _{A}}{n R}$

▶ temperatura stanu B:

$T_{B} = \frac{p _{B} V _{B}}{n R}$

Stosunek tych temperatur wynosi:

$\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{\frac{p _{B} V _{B}}{n R}}{\frac{p _{A} V _{A}}{n R}}$

$\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{p _{B} V _{B}}{n R} \cdot \frac{n R}{p _{A} V _{A}}$

$\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{p _{B}}{p _{A}} \cdot \frac{V _{B}}{V _{A}}$

Wstawiając wyznaczone wcześniej zależności pomiędzy objętościami oraz ciśnieniami mamy:

$\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

$T_{B} = 2 T_{A}$

Odpowiedź:

Temperatura gazu wzrosła, czyli jego energia wewnętrzna również wzrosła.

$b)$

Szukane:

$Δ U = ?$

Rozwiązanie:

Energia wewnętrzna gazu jest sumą wszystkich rodzajów energii cząsteczek ciała. W zadaniu mamy do czynienia z jednoatomowym gazem doskonałym. Średnią energię można pomnożyć przez liczbę cząsteczek i otrzymać energię wewnętrzną jednoatomowego gazu doskonałego:

$U = \frac{3}{2} n R T$

gdzie:

$U$ - energia wewnętrzna dla konkretnej temperatury ciała,

$n$ - liczba moli cząstek w układzie,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura.

Oznacza to, że energie wewnętrzną dla poszczególnych punktów przedstawimy zależnością:

$U_{A} = \frac{3}{2} n R T_{A}$

$U_{B} = \frac{3}{2} n R T_{B}$

Wówczas zmiana energii wewnętrznej będzie miała postać:

$Δ U = U_{B} - U_{A}$

$Δ U = \frac{3}{2} n R T_{B} - \frac{3}{2} n R T_{A}$

$Δ U = \frac{3}{2} n R \cdot (2 T_{A}) - \frac{3}{2} n R T_{A}$

$Δ U = \frac{6}{2} n R T_{A} - \frac{3}{2} n R T_{A}$

$Δ U = \frac{3}{2} n R T_{A}$

Wstawiamy wzór na temperaturę (opisany w podpunkcie b)):

$Δ U = \frac{3}{2} n R \cdot \frac{p _{A} V _{A}}{n R}$

$Δ U = \frac{3}{2} p_{A} V_{A}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru i obliczamy:

$Δ U = \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot 1 0^{5} Pa \cdot 6 \cdot 1 0^{- 3} m^{3} = 18 \cdot 1 0^{2} J = 1800 J$

Odpowiedź: Zmiana energii wewnętrznej wynosiła 1800 J.

$c)$

Praca odpowiadająca jednej kratce będzie będzie iloczynem ciśnienia i objętości odpowiadających jednej kratce:

$W_{0} = p_{0} V_{0}$

Zauważmy, że dla punktu A objętość rozciąga się na 2 kratki, czyli korzystając z metody proporcji możemy zapisać, że:

$V_{A} ——- 2 kratki$

$V_{0} ——- 1 kratka$

Zatem:

$V_{0} = \frac{V _{A} \cdot 1 kratka}{2 kratki}$

$V_{0} = \frac{1}{2} V_{A}$

Podobnie dla ciśnienia możemy zauważyć, że rozciąga się na 8 kratek dla stanu A, czyli:

$p_{A} ——- 8 kratek$

$p_{0} ——- 1 kratka$

Zatem:

$p_{0} = \frac{p _{A} \cdot 1 kratka}{8 kratek}$

$p_{0} = \frac{1}{8} p_{A}$

Oznacza to, że praca odpowiadająca jednej kratce opisuje wzór:

$W_{0} = p_{0} \cdot V_{0}$

$W_{0} = \frac{1}{8} p_{A} \cdot \frac{1}{2} V_{A}$

$W_{0} = \frac{1}{16} p_{A} V_{A}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W_{0} = \frac{1}{16} \cdot 2 \cdot 1 0^{5} Pa \cdot 6 \cdot 1 0^{- 3} m^{3} = \frac{12}{16} \cdot 1 0^{2} J = 0, 75 \cdot 100 J = 75 J$

$d)$

Uzasadnienie:

Praca wykonana przez gaz w tej przemianie będzie ilością kratek pod wykresem. Obliczamy kratki:

▶ pełne kratki:

$n_{1} = 28$

▶ kratki o polu powierzchni większej niż połowa pola powierzchni pełnej kratki (0,75 całej kratki):

$n_{2} = 3$

▶ kratki o polu powierzchni wynoszącym (prawie) połowę polu powierzchni pełnej kratki (0,5 całej kratki):

$n_{3} = 3$

▶ kratki o ułamkowej części pełnej kratki (0,25 całej kratki):

$n_{4} = 2$

Zatem ilość pełnych kratek wynosi:

$n \approx 1 \cdot n_{1} + 0, 75 \cdot n_{2} + 0, 5 \cdot n_{3} + 0, 25 \cdot n_{4}$

$n \approx 1 \cdot 28 + 0, 75 \cdot 3 + 0, 5 \cdot 3 + 0, 25 \cdot 2 = 28 + 2, 25 + 1, 5 + 0, 5 = 32, 25$

Wówczas praca wykona przez ten gaz będzie iloczynem ilości kratek i pracy odpowiadającej jednej kratce obliczonej w podpunkcie c). Wówczas otrzymujemy, że:

$W_{gazu} = n \cdot W_{0}$