$\text{a)}$ 

Zgodnie z treścią zadania:

$p_2=4,6\cdot 10^5\mathrm{Pa}$

Odczytujemy z wykresu, że ciśnienie dla stanu 1 jest 4,5 razy mniejsze od ciśnienia dla stanu 2:

$p_1=\frac{p_2}{4,5}$

Zatem mamy:

$p_1=\frac{4,6\cdot 10^5\mathrm{Pa}}{4,5}\approx 1,02\cdot 10^5\mathrm{Pa}$

Z wykresu odczytujemy również, że:

$V_1=10\mathrm{l}$

Natomiast objętości dla stanów przyjmują wartości:

$V_{\text{stan 1}}=2,5V_1$

$V_{\text{stan 2}}=V_1$

Wstawiamy wartości i otrzymujemy:

$V_{\text{stan 1}}=2,5\cdot 10\mathrm{l}=25\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3=25\cdot 0,001{\mathrm{m}}^3=0,025{\mathrm{m}}^3$

$V_{\text{stan 2}}=1\cdot 10\mathrm{l}=10\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3=10\cdot 0,001{\mathrm{m}}^3=0,01{\mathrm{m}}^3$

 

$\text{b)}$

 Dane:

$p_{\text{stan 2}}=4,6\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ 

$p_{\text{stan 1}}=\frac{p_{\text{stan 2}}}{4,5}$

$V_{\text{stan 1}}=2,5V_1$

$V_{\text{stan 2}}=V_1$

$V_1=10\mathrm{l}=10\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3=10\cdot 0,001{\mathrm{m}}^3=0,01{\mathrm{m}}^3$

Szukane:

$W=\text{?}$

Rozwiązanie:

Pierwsza zasady termodynamiki mówi nam, że zmiana energii wewnętrznej układu termodynamicznego jest równa sumie pracy wykonanej nad układem przez siły zewnętrzne i ciepła wymienionego z otoczeniem:

$\Delta U=W+Q$

gdzie:

$\Delta U$ - zmiana energii wewnętrznej,

$W$ - praca wykonana nad układem,

$Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem.

W przypadku sprężenia adiabatycznego gaz nie wymienia ciepła z otoczeniem zatem wykonana praca jest równa zmianie energii wewnętrznej gazu:

$W=\Delta U$

Wartość zmiany energii wewnętrznej opisuje wzór:

$\Delta U=n{C}_V\Delta T$

gdzie:

$n$ - liczba moli gazu,

$C_V$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$\Delta T$ - zmiana temperatury.

 

W naszym przypadku gaz jest gazem jednoatomowy więc:

$C_V=\frac{3}{2}R$

gdzie:

$R$ - stała gazowa.

Natomiast zmiana temperatury jest opisana wzorem:

$\Delta T=T_2-T_1$

gdzie:

$T_2$ - temperatura gazu w stanie 2,

$T_1$ - temperatura gazu w stanie 1.

 

Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$pV=nRT$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu,

$V$ - objętość gazu,

$n$ - liczba moli,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura gazu.

Przekształcając wzór mamy wzór na temperaturę:

$pV=nRT|:nR$

$\frac{pV}{nR}=T$

$T=\frac{pV}{nR}$

 

Zatem dla każdego ze stanów mamy:

$T_2=\frac{p_{\text{stan 2}}{V}_{\text{stan 2}}}{nR}$ 

 $T_1=\frac{p_{\text{stan 1}}{V}_{\text{stan 1}}}{nR}$

 Wówczas wzór na zmianę temperatury przyjmuję postać:

$\Delta T=T_2-T_1$

$\Delta T=\frac{p_{\text{stan 2}}{V}_{\text{stan 2}}}{nR}-\frac{p_{\text{stan 1}}{V}_{\text{stan 1}}}{nR}$

 $\Delta T=\frac{1}{nR}\left(p_{\text{stan 2}}{V}_{\text{stan 2}}-p_{\text{stan 1}}{V}_{\text{stan 1}}\right)$

$\Delta T=\frac{1}{nR}\left(p_{\text{stan 2}}{V}_1-\frac{p_{\text{stan 2}}}{4,5}2,5V_1\right)$

$\Delta T=\frac{1}{nR}\left(1-\frac{2,5}{4,5}\right)p_{\text{stan 2}}{V}_1$

$\Delta T=\left(1-\frac{\frac{5}{2}}{\frac{9}{2}}\right)\frac{p_{\text{stan 2}}{V}_1}{nR}$

$\Delta T=\left(1-\frac{5}{9}\right)\frac{p_{\text{stan 2}}{V}_1}{nR}$

$\Delta T=\frac{4}{9}\frac{p_{\text{stan 2}}{V}_1}{nR}$

 

Wstawiamy wyznaczony wzór na zmianę temperatury do wzoru na pracę:

$W=\Delta U$

 $W=n{C}_V\Delta T$

$W=n\cdot \left(\frac{3}{2}R\right)\cdot \left(\frac{4}{9}\frac{p_{\text{stan 2}}{V}_1}{nR}\right)$

$W=\frac{2}{3}{p}_{\text{stan 2}}{V}_1$

Wstawiamy dane i obliczamy:

$W=\frac{2}{3}\cdot 4,6\cdot 10^5\mathrm{Pa}\cdot 0,01{\mathrm{m}}^3=\frac{2\cdot 4,6}{3}\cdot 10^5\cdot 10^{-2}\mathrm{Pa}\cdot {\mathrm{m}}^3=$

$=\frac{9,2}{3}\cdot 10^3\mathrm{J}\approx 3,0667\cdot 1000\mathrm{J}=3066,7\mathrm{J}$

Odpowiedź: Praca wykonana przez siłę zewnętrzną wynosi około 3066,7 J.