TREŚĆ:

Zadanie 12.

Obiekt PSR 1257+12 jest gwiazdą neutronową o średnicy kilkunastu kilometrów. Ta gwiazda jest pulsarem milisekundowym, który obraca się wokół osi własnej 160 razy na sekundę. Wokół niego krążą pierwsze odkryte – przez polskiego astronoma Aleksandra Wolszczana – planety poza Układem Słonecznym. Układ składa się z pulsara jako gwiazdy centralnej i trzech planet krążących wokół tego pulsara. Jedną z nich jest planeta o nazwie Draugr, która okrąża pulsar po orbicie kołowej o promieniu $r=0,19\mathrm{au}$, w czasie $T=25,3$ doby (ziemskiej).

Masa pulsara jest znacznie większa od masy każdej z okrążających go planet. Pomiń wzajemne oddziaływanie planet. Przyjmij, że $1\mathrm{au}=150\mathrm{mln}\mathrm{km}$ (au – jednostka astronomiczna).

Dodatkowe informacje do zadań 12.2. i 12.3.

Opisany pulsar powstał w wyniku zapadania się jądra gwiazdy, którego rozmiary były znacznie większe niż obecne rozmiary pulsara. W wyniku zapadania grawitacyjnego promień tego jądra się zmniejszył, a częstotliwość obrotu wzrosła. Obecnie pulsar obraca się wokół własnej osi około 160 razy na sekundę.

Do obliczeń przyjmij uproszczony model zjawiska oparty na następujących założeniach dotyczących końcowego etapu zapadania się jądra gwiazdy:

• przyjmij, że masa $M$  jądra gwiazdy się nie zmienia
• pomiń ewentualne straty momentu pędu
• przyjmij, że zapadające się jądro gwiazdy jest ciałem o momencie bezwładności równym $kM{R}_t^2$ , gdzie $R_t$  jest chwilowym promieniem jądra gwiazdy, a $k$  pozostaje stałe
• pomiń efekty relatywistyczne i wpływ innych obiektów.

Zadanie 12.3.

Wyznacz wartość liczbową stosunku $E_{kin1}\text{/}{E}_{kin10}$  – energii kinetycznej jądra gwiazdy w chwili obecnej do energii kinetycznej jądra gwiazdy w chwili, gdy jego promień był 10 razy większy niż obecnie. Wykorzystaj odpowiednie zasady i wzory fizyczne.

Energię kinetyczną określamy w układzie odniesienia, w którym oś obrotu pulsara jest nieruchoma.

---

ROZWIĄZANIE:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie stosunku energii kinetycznej gwiazdy w chwili obecnej i w chwili początkowej, kiedy promień gwiazdy był 10 razy większy. Wiemy, że początkowy moment bezwładności pulsara będzie miał postać:

$I_0=100I\text{dla:}I=kM{R}^2$  

gdzie:

$I_0$   - początkowy moment bezwładności,

$I$   - obecny moment bezwładności,

$k$   - stała liczbowa,

$M$   - masa gwiazdy,

$R$   - promień gwiazdy.

Wiemy również z poprzedniego zadania, że:

$f_0=\frac{1}{100}f$  

gdzie:

$f_0$   - początkowa częstotliwość obrotów gwiazdy,

$f$   - obecna częstotliwość obrotów gwiazdy.

Skorzystamy ze związków w ruchu jednostajnym po okręgu: