Treść:

W dniu 9 maja 2016 roku miało miejsce zjawisko astronomiczne – tranzyt Merkurego. Merkury, obserwowany z Ziemi, powoli przesuwał się na tle tarczy Słońca. Zjawisko trwało około 7,5 godziny. Podczas tranzytu Merkury znajdował się blisko aphelium swojej orbity. Aphelium jest punktem na orbicie planety, który leży w największej odległości od Słońca, natomiast peryhelium jest punktem na orbicie planety leżącym najbliżej Słońca (zobacz rysunek poniżej). Aphelium orbity Merkurego znajduje się w odległości r_a= 0,467 jednostki astronomicznej od środka Słońca, a Merkury, przechodząc przez aphelium, porusza się z prędkością 38,9 ^km/_s względem Słońca. Różnica odległości Merkurego od środka Słońca w aphelium i peryhelium jest równa 0,159 jednostki astronomicznej.

Wektor prędkości planety w każdym z tych punktów (peryhelium i aphelium) jest prostopadły do promienia wodzącego – łączącego środek Słońca z planetą. Jednostka astronomiczna jest równa średniej odległości Ziemi od Słońca. Średnia odległość planety od Słońca oznacza długość wielkiej półosi orbity eliptycznej, po której ta planeta okrąża Słońce (tzn. jest równa połowie odległości od peryhelium do aphelium).

Oblicz okres obiegu Merkurego dookoła Słońca. Wynik podaj w latach ziemskich lub dobach ziemskich.

---

Dane:

${\text{r}}_{\text{a}}=0,467\text{au}$  

${\text{v}}_{\text{a}}=38,9\frac{\text{km}}{\text{s}}$  

$1\text{au}=1,5\cdot {10}^{11}\text{m}$

Szukane:

${\text{T}}_{\text{M}}=\text{?}$   

Rozwiązanie:

Na początek obliczamy średnią odległość Merkurego od Słońca:

$\text{r}=\frac{{\text{r}}_{\text{a}}+{\text{r}}_{\text{p}}}{2}$

Odległość Merkurego od Słońca w peryhelium możemy obliczyć, korzystając z informacji w zadaniu:

${\text{r}}_{\text{p}}={\text{r}}_{\text{a}}-0,159\text{au}=0,467\text{au}-0,159\text{au}$

${\text{r}}_{\text{p}}=0,308\text{au}$  

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

$\text{r}=\frac{0,497\text{au}+0,308\text{au}}{2}$  

$\text{r}=0,3875\text{au}$   

Następnie korzystamy z III prawa Keplera:

$\frac{{\text{T}}_{\text{M}}^2}{{\text{r}}^2}=\frac{{\text{T}}_{\text{Z}}^2}{{\text{r}}_{\text{Z}}^2}$  

gdzie  ${\text{r}}_{\text{Z}}=1\text{au}$   .

Przekształcamy, żeby znaleźć wyrażenie na okres obiegu Merkurego wokół Słońca:

$\frac{{\text{T}}_{\text{M}}^2}{{\text{r}}^3}=\frac{{\text{T}}_{\text{Z}}^2}{{\text{r}}_{\text{Z}}^3}\text{/}\cdot {\text{r}}^3$  

${\text{T}}_{\text{M}}^2={\text{T}}_{\text{Z}}^2\cdot \frac{{\text{r}}^3}{{\text{r}}_{\text{Z}}^3}\text{/}\cdot \sqrt{}$  

${\text{T}}_{\text{M}}={\text{T}}_{\text{Z}}\cdot \sqrt{\frac{{\text{r}}^3}{{\text{r}}_{\text{Z}}^3}}$  

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

${\text{T}}_{\text{M}}=1\text{rok}\cdot \sqrt{\frac{{\left(0,3875\text{au}\right)}^3}{{\left(1\text{au}\right)}^3}}$  

${\text{T}}_{\text{M}}\approx 0,241\text{lat}=0,241\cdot 365\text{dni}\approx 88\text{dni}$  

---

Odpowiedź: Okres obiegu Merkurego dookoła Słońca wynosi 0,241 lat, czyli 88 dni.