Treść:

Podczas gry chłopiec podrzucił piłkę. W momencie wyrzutu piłka znajdowała się na wysokości h = 1,96 m nad powierzchnią ziemi, jej prędkość  ${\overrightarrow{\text{v}}}_0$   była skierowana pionowo w górę, a wartość tej prędkości była równa v₀ = 8,1 ^m/_s. Piłka wzniosła się na wysokość H = 5,3 m ponad ziemię, po czym swobodnie opadła na ziemię.

W zadaniach 11.1.–11.3. pomiń opory ruchu oraz wykorzystaj wartość przyspieszenia ziemskiego równą g = 9,81 ^m/_s². Rysunek 1. jest ilustracją opisanego rzutu w chwili początkowej, rysunek 2. – w chwili, gdy piłka osiągnęła wysokość maksymalną, a rysunek 3. przedstawia moment tuż przed uderzeniem piłki o ziemię.

Wykonaj odpowiednie obliczenia i wykaż, że wartość v_k prędkości piłki tuż przed uderzeniem o ziemię jest równa około 10,2 ^m/_s.

---

Dane:

$\text{h}=1,96\text{m}$  

${\text{v}}_0=8,1\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$\text{H}=5,3\text{m}$  

$\text{g}=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Szukane:

${\text{v}}_{\text{k}}=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Na początek zauważmy, że piłka osiągnie końcową prędkość spadając z maksymalnej wysokości ruchem jednostajnie przyspieszonym, z przyspieszeniem równym przyspieszeniu grawitacyjnemu. Zapiszmy wzór na drogę ruchu jednostajnie przyspieszonym (czyli na wysokość maksymalną piłki):

$\text{H}=\frac{{\text{gt}}^2}{2}$  

Przy czym czas możemy zapisać wzorem, zgodnie z definicją przyspieszenie w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

$\text{t}=\frac{\Delta \text{v}}{\text{g}}=\frac{{\text{v}}_k-0}{\text{g}}=\frac{{\text{v}}_k}{\text{g}}$  

bo początkowa prędkość piłki była zerowa (na wysokości H). 

Wstawiamy to wyrażenie do wzoru na wysokość i przekształcamy, aby otrzymać wyrażenie na końcową prędkość:

$\text{H}=\frac{\text{g}\cdot {\left(\frac{{\text{v}}_{\text{k}}}{\text{g}}\right)}^2}{2}=\frac{\cancel{\text{g}}\cdot \frac{{\text{v}}_k^2}{{\text{g}}^{\cancel{2}}}}{2}=\frac{{\text{v}}_k^2}{\text{2g}}$  

$\text{H}=\frac{{\text{v}}_k^2}{\text{2g}}\text{/}\cdot \text{2g}$  

$\text{2Hg}={\text{v}}_{\text{k}}^2\text{/}\cdot \sqrt{}$   

${\text{v}}_{\text{k}}=\sqrt{\text{2Hg}}$  

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

${\text{v}}_{\text{k}}=\sqrt{2\cdot 5,3\text{m}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}$  

${\text{v}}_{\text{k}}\approx 10,2\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

---

Odpowiedź: Prędkość końcowa piłki wynosiła w przybliżeniu 10,2 ^m/_s.