Treść:

Podczas gry chłopiec podrzucił piłkę. W momencie wyrzutu piłka znajdowała się na wysokości h = 1,96 m nad powierzchnią ziemi, jej prędkość  ${\overrightarrow{\text{v}}}_0$   była skierowana pionowo w górę, a wartość tej prędkości była równa v₀ = 8,1 ^m/_s. Piłka wzniosła się na wysokość H = 5,3 m ponad ziemię, po czym swobodnie opadła na ziemię.

W zadaniach 11.1.–11.3. pomiń opory ruchu oraz wykorzystaj wartość przyspieszenia ziemskiego równą g = 9,81 ^m/_s². Rysunek 1. jest ilustracją opisanego rzutu w chwili początkowej, rysunek 2. – w chwili, gdy piłka osiągnęła wysokość maksymalną, a rysunek 3. przedstawia moment tuż przed uderzeniem piłki o ziemię.

Oblicz całkowity czas ruchu piłki w opisanym rzucie: od momentu wyrzucenia aż do chwili uderzenia piłki o ziemię.

---

Dane:

$\text{h}=1,96\text{m}$  

${\text{v}}_0=8,1\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$\text{H}=5,3\text{m}$  

$\text{g}=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Szukane:

$\text{t}=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Całkowity czas ruchu piłki to suma czasu wznoszenia się piłki i czasu jej spadania:

$\text{t}={\text{t}}_{\text{w}}+{\text{t}}_{\text{s}}$  

Czas wznoszenia się piłki możemy obliczyć ze wzoru na przyspieszenie w ruchu jednostajnie opóźnionym (przy czy ciało porusza się z przyspieszeniem równym przyspieszeniu ziemskiemu):

$\text{g}=\frac{\Delta \text{v}}{{\text{t}}_{\text{w}}}\to {\text{t}}_{\text{w}}=\frac{\Delta \text{v}}{\text{g}}$   

gdzie  $\Delta \text{v}={\text{v}}_0-0={\text{v}}_0$  to końcowa prędkość piłki jest zerowa. 

Ostatecznie wzór na czas wznoszenia się ma postać:

${\text{t}}_{\text{w}}=\frac{{\text{v}}_0}{\text{g}}$  

Czas spadania wyznaczamy z kolei ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym, przy czym w tym przypadku droga jest równa maksymalnej wysokości, na jakiej znalazła się piłka:

$\text{H}=\frac{{\text{gt}}_{\text{s}}^2}{2}\text{/}\cdot 2$  

$2\cdot \text{H}={\text{gt}}_{\text{s}}^2\text{/: g}$  

$\frac{2\cdot \text{H}}{\text{g}}={\text{t}}_{\text{s}}^2\text{/}\cdot \sqrt{}$  

${\text{t}}_{\text{s}}=\sqrt{\frac{2\cdot \text{H}}{\text{g}}}$  

Całkowity czas ruchu piłki wynosi zatem:

$\text{t}=\frac{{\text{v}}_0}{\text{g}}+\sqrt{\frac{2\cdot \text{H}}{\text{g}}}$  

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

$\text{t}=\frac{8,1\frac{\text{m}}{\text{s}}}{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}+\sqrt{\frac{2\cdot 5,3\text{m}}{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}$  

$\text{t}\approx 1,87\text{s}$  

Odpowiedź: Całkowity czas ruchu piłki wynosi 1,87 s.