Dane:

$m=50g=0,05kg$  

$r=60cm=0,6m$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$ . 

 

$\text{a)}$  

Szukane:

$F_d=?$  

$v=?$  

Rozwiązanie:

Możemy wykonać rysunek pomocniczy, gdy kulka znajduje się w najwyższym punkcie, czyli:

gdzie:

${\overrightarrow{F}}_g$  - siła ciężkości, 

${\overrightarrow{F}}_{\text{sz}}$  - siła sznurka.

Rolę siły dośrodkowej w tym przypadku pełni siła wypadkowa siły, z jaką sznurek działa na kulkę oraz ciężaru. Oznacza to, że:

$F_d=F_g+F_{\text{sz}}$  

W zadaniu podane mamy, że siła z jaką sznurek działa na kulkę jest równa sile ciężkości kulki: 

$F_g=F_{\text{sz}}$  

Z tego wynika, że:

$F_d=F_g+F_g$  

$F_d=2F_g$  

Wartość siły ciężkości możemy wyrazić jako iloczyn masy kulki i przyspieszenia ziemskiego:

$F_g=mg$  

gdzie:

$m$  - masa kulki, 

$g$  - wartość przyspieszenia.

Z tego wynika, że siła dośrodkowa wynosi:

$F_d=2mg$  

Wartość siły dośrodkowej możemy przedstawić wzorem:

$F_{\text{d}}=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie:

$F_{\text{d}}$  - wartość siły dośrodkowej działającej na ciało, 

$m$  - masa ciała poruszającego się po okręgu, 

$v$  - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu, 

$r$  - promień koła. 

Możemy zatem wyznaczyć wartość prędkości kulki korzystając z zależności:

$\frac{m{v}^2}{r}=F_{\text{d}}$  

$\frac{\cancel{m}{v}^2}{r}=2\cancel{m}g\mid \cdot r$  

$v^2=2gr\mid \sqrt{}$  

$v=\sqrt{2gr}$  

Wówczas podstawiając dane liczbowe do wzoru otrzymujemy, że siła dośrodkowa wynosi:

$F_d=2\cdot 0,05\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=1\text{ kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=1\text{N}$    

Natomiast prędkość kulki wynosi:

$v=\sqrt{2\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,6\text{m}}=\sqrt{12\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx$  

$\approx 3,4641\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 3,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Odpowiedź: Wartość siły dośrodkowej wynosi 1 N, a szybkość kulki wynosi około 3,5 m/s.

 

$\text{b)}$  

Szukane:

$\frac{v}{v_{\text{min}}}=?$  

Rozwiązanie:

Najmniejszą szybkość kulka będzie miała, gdy nie będzie działać na nią siła pochodząca od nici. Wówczas będziemy mieli, że:

$F_d=F_g$  

$\frac{m{v}_{\text{min}}^2}{r}=mg\mid :m$  

$\frac{v_{\text{min}}^2}{r}=g\mid \cdot r$  

$v_{\text{min}}^2=gr$  

Pierwiastkujemy:

$v_{\text{min}}=\sqrt{gr}$  

Wówczas stosunek prędkości obliczonej w podpunkcie a) do najmniejszej szybkości, którą w tym punkcie miałaby kulka będzie wynosił:

$\frac{v}{v_{\text{min}}}=\frac{\sqrt{2gr}}{\sqrt{gr}}$  

$\frac{v}{v_{\text{min}}}=\sqrt{\frac{2gr}{gr}}$  

$\frac{v}{v_{\text{min}}}=\sqrt{2\frac{gr}{gr}}$  

$\frac{v}{v_{\text{min}}}=\sqrt{2}$  

$\frac{v}{v_{\text{min}}}\approx 1,4$