Dane:

$r=30\text{m}$  

$v=54\frac{\text{km}}{\text{h}}=15\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

$\mathbf{a})$

Dane w podpunkcie:

$m=60\text{kg}$

Szukane:

$\Delta N=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie różnicy wartości sił nacisku pasażera wagonika w najniższym punkcie zagłębienia i w najwyższym punkcie wzniesienia. Wiemy, że na pasażera w wagoniku działa siłą ciężkości oraz odśrodkowa siła bezwładności. Wypadkowa tych dwóch sił będzie odpowiadała sile, z jaką pasażer naciska na fotel wagonika. Skoro pasażer w najwyższym punkcie nadal naciska na fotel to oznacza, że odśrodkowa siła bezwładności będzie miała mniejszą wartość niż siła ciężkości pasażera. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie:

${\vec{F}}_c$ - siła ciężkości, 

${\vec{F}}_{\text{od}}$ - odśrodkowa siła bezwładności, 

${\vec{N}}_1$ - siła nacisku pasażera na wagonik w najniższym położeniu, 

${\vec{N}}_2$ - siła nacisku pasażera na wagonik w najwyższym położeniu. 

Możemy zauważyć, że wartości sił nacisku spełniają zależność:

$N_1>N_2$

Wówczas różnica wartości siły nacisku pasażera na fotel będzie wynosiła:

$\Delta N=N_1-N_2$

gdzie:

$\Delta N$ - różnica wartości sił nacisku. 

Z wykonanego rysunku pomocniczego możemy zauważyć, że:

$N_1=F_c+F_{\text{od}}$

$N_2=F_c-F_{\text{od}}$

Oznacza to, że różnica wartości siły nacisku będzie wynosiła:

$\Delta N=N_1-N_2$

$\Delta N=F_c+F_{\text{od}}-\left(F_c-F_{\text{od}}\right)$

$\Delta N=\underline{F_c}+F_{\text{od}}-\underline{F_c}+F_{\text{od}}$

$\Delta N=2F_{\text{od}}$

Wartość odśrodkowej siły bezwładności możemy przedstawić wzorem:

$F_{\text{od}}=\frac{m{v}^2}{r}$

gdzie:

$F_{\text{od}}$ - wartość odśrodkowej siły bezwładności działającej na ciało, 

$m$ - masa ciała poruszającego się po okręgu, 

$v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu, 

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało. 

Wówczas:

$\Delta N=2F_{\text{od}}$

$\Delta N=2\cdot \frac{m{v}^2}{r}$

$\Delta N=\frac{2m{v}^2}{r}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta N=\frac{2\cdot \stackrel{2}{\sout{60}}\text{kg}\cdot {\left(15\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{\underset{1}{\sout{30}}\text{m}}=\frac{2\cdot 2\text{kg}\cdot 225\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{1\text{m}}=$

$=\frac{900\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^{\cancel{2}}}{{\text{s}}^2}}{1\cancel{\text{m}}}=900\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=900\text{N}$

Odpowiedź: Różnica wartości sił nacisku pasażera na wagonik wynosi 900 N.

$\mathbf{b})$  

Szukane:

$v_{\text{max}}=?$

Rozwiązanie:

Szukamy szybkości, z jaką musiałby się poruszać wagonik, aby w najwyższym punkcie toru nie wywierać nacisku. Wówczas  mamy sytuację, w której siła ciężkości jest równoważona przez odśrodkową siłę bezwładności:

Możemy zapisać zatem równanie:

$F_{\text{od}}=F_c$

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że wartość odśrodkowej siły bezwładności będzie miał postać:

$F_{\text{od}}=\frac{m{v}_{\max }^2}{r}$

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_c=mg$ 

gdzie:

$F_c$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

Oznacza to, że szybkość maksymalna, z jaką musiałby poruszać się wagonik wynosiłaby:

$F_{\text{od}}=F_c$

$\frac{\cancel{m}{v}_{\max }^2}{r}=\cancel{m}g|\cdot r$

$v_{\max }^2=gr|\sqrt{}$

$v_{\text{max}}=\sqrt{gr}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{\text{max}}=\sqrt{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 30\text{m}}=\sqrt{300\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx$

$\approx 17,32\frac{\text{m}}{\text{s}}=17,32\cdot \frac{0,001\text{km}}{\frac{1}{3600}\text{h}}=$

$=17,32\cdot 0,001\cdot 3600\frac{\text{km}}{\text{h}}=$

$=62,352\frac{\text{km}}{\text{h}}\approx 62,4\frac{\text{km}}{\text{h}}$

Odpowiedź: Wagonik musiałby poruszać z szybkością równą około 62,4 km/h.