$a)$  

W rzucie ukośnym zasięg rzutu ciała przedstawiamy zależnością:

$z=\frac{2v_0^2\sin \alpha \cos \alpha }{g}$  

gdzie $v_0$  jest prędkością początkową nadaną rzucanemu ciału, $\alpha$  jest kątem, pod jakim wyrzucono ciało, $g$  jest przyspieszeniem ziemskim. Wysokość maksymalną, na jaką może wzbić się ciało w rzucie ukośnym przedstawiamy wzorem:

$h_{\text{max}}=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}$  

gdzie $v_0$  jest prędkością początkową nadaną rzucanemu ciału, $\alpha$  jest kątem, pod jakim wyrzucono ciało, $g$  jest przyspieszeniem ziemskim. Wyznaczmy kąt pod którym należy wyrzucić ciało, aby zasięg był równy połowie maksymalnej wysokości:

$z=\frac{1}{2}{h}_{\text{max}}$  

$\frac{2v_0^2\sin \alpha \cos \alpha }{\cancel{g}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2\cancel{g}}$  

$2\cancel{v_0^2}\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{4}\cancel{v_0^2}{\sin }^2\alpha$  

$2\sout{\sin \alpha }\cos \alpha =\frac{1}{4}\sin \alpha \sout{\sin \alpha }\cdot 4$  

$8\cos \alpha =\sin \alpha \mid :\cos \alpha$  

$8=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

$\mathrm{tg}\alpha =8$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych (str 143 w zbiorze zadań) możemy odczytać, że:

$\alpha \approx {83}^{\circ }$  

 

$b)$  

Wyznaczmy kąt pod którym należy wyrzucić ciało, aby zasięg był równy maksymalnej wysokości:

$z=h_{\text{max}}$  

$\frac{2v_0^2\sin \alpha \cos \alpha }{\cancel{g}}=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2\cancel{g}}\mid \cdot 2$  

$4\cancel{v_0^2\sin \alpha }\cos \alpha =\cancel{v_0^2\sin \alpha }\sin \alpha \mid :\cos \alpha$  

$4=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

$\mathrm{tg}\alpha =4$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych (str 143 w zbiorze zadań) możemy odczytać, że:

$\alpha \approx {76}^{\circ }$  

 

$c)$  

Wyznaczmy kąt pod którym należy wyrzucić ciało, aby zasięg był dwa razy większy od maksymalnej wysokości:

$z=2h_{\text{max}}$  

$\frac{2v_0^2\sin \alpha \cos \alpha }{\cancel{g}}=2\cdot \frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2\cancel{g}}$  

$2\cancel{v_0^2\sin \alpha }\cos \alpha =\cancel{v_0^2\sin \alpha }\sin \alpha \mid :\cos \alpha$  

$2=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

$\mathrm{tg}\alpha =2$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych (str 143 w zbiorze zadań) możemy odczytać, że:

$\alpha \approx {63}^{\circ }$  

 

$d)$  

Wyznaczmy kąt pod którym należy wyrzucić ciało, aby zasięg był cztery razy większy od maksymalnej wysokości:

$z=4h_{\text{max}}$  

$\frac{2v_0^2\sin \alpha \cos \alpha }{\cancel{g}}=4\cdot \frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2\cancel{g}}$  

$2\cancel{v_0^2\sin \alpha }\cos \alpha =2\cancel{v_0^2\sin \alpha }\sin \alpha \mid :2\cos \alpha$  

$1=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

$\mathrm{tg}\alpha =1$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych (str 143 w zbiorze zadań) możemy odczytać, że:

$\alpha ={45}^{\circ }$