$a)$  

Z rysunku wynika, że:

$z=8m$  

$h_{\text{max}}=4m$  

 

$b)$  

Wzór na zasięg rzutu ukośnego ma postać:

$z=\frac{v_0^2}{g}\sin 2\alpha$

gdzie v₀ jest prędkością początkową, g jest przyspieszeniem ziemskim. Wzór na wysokość maksymalną rzutu ukośnego ma postać:

$h_{\text{max}}=\frac{v_0^2}{2g}{\sin }^2\alpha$

gdzie v₀ jest prędkością początkową, g jest przyspieszeniem ziemskim. Wówczas otrzymujemy układ równań, z którego możemy wyznaczyć kąt pod jakim ciało zostało wyrzucone i prędkość początkową:

$\{\begin{array}{l}z=\frac{v_0^2}{g}\sin 2\alpha \\ h_{\text{max}}=\frac{v_0^2}{2g}{\sin }^2\alpha \end{array}$  

Przyjmijmy, że przyspieszenie ziemskie wynosi:

$g=10\frac{m}{s^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do układu równań z pominięciem podstawowych jednostek SI:

$\{\begin{array}{l}8=\frac{v_0^2}{10}\cdot \sin 2\alpha \mid \cdot 10\\ 4=\frac{v_0^2}{2\cdot 10}\cdot {\sin }^2\alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}80=v_0^2\cdot \sin 2\alpha \\ 4=\frac{v_0^2}{20}\cdot {\sin }^2\alpha \mid :20\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}80=v_0^2\cdot \sin 2\alpha \\ 80=v_0^2\cdot {\sin }^2\alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{v}_0^2\cdot \sin 2\alpha =80\\ v_0^2\cdot {\sin }^2\alpha =80\end{array}$  

Z tożsamości trygonometrycznych wiemy, że:

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$  

Wówczas otrzymujemy, że: 

$\{\begin{array}{l}{v}_0^2\cdot 2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha =80\mid :2\cos \alpha \\ v_0^2\cdot {\sin }^2\alpha =80\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{v}_0^2\cdot \sin \alpha =\frac{80}{2\cos \alpha }\\ v_0^2\cdot {\sin }^2\alpha =80\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{v}_0^2\cdot \sin \alpha =\frac{80}{2\cos \alpha }\\ v_0^2\cdot \sin \alpha \cdot \sin \alpha =80\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{v}_0^2\cdot \sin \alpha =\frac{80}{2\cos \alpha }\mid \cdot 2\cos \alpha \\ \frac{80}{2\cos \alpha }\cdot \sin \alpha =80\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2\cdot v_0^2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha =80\\ 40\cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=80\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2\cdot v_0^2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha =80\\ 40\cdot \mathrm{tg}\alpha =80\mid :40\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}2\cdot v_0^2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha =80\\ \mathrm{tg}\alpha =2\end{array}$  

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy (str 143 w zbiorze zadań), że:

$\alpha \approx {63}^{\circ }$  

Kontynuujemy rozwiązywanie układu równań: 

$\{\begin{array}{l}2\cdot v_0^2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha =80\\ \alpha ={63}^{\circ }\end{array}$              

$\{\begin{array}{l}2\cdot v_0^2\cdot \sin {63}^{\circ }\cdot \cos {63}^{\circ }=80\mid :2\\ \alpha ={63}^{\circ }\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}{v}_0^2\cdot 0,8942\cdot 0,4478=40\\ \alpha ={63}^{\circ }\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}{v}_0^2\cdot 0,40042276=40:0,40042276\\ \alpha ={63}^{\circ }\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}{v}_0^2\approx 100\mid \sqrt{}\\ \alpha ={63}^{\circ }\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}{v}_0=\sqrt{100}\\ \alpha ={63}^{\circ }\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}{v}_0=10\\ \alpha ={63}^{\circ }\end{array}$     

Pamiętając o pominiętych jednostkach otrzymujemy, że:

$\{\begin{array}{l}{v}_0=10\frac{m}{s}\\ \alpha ={63}^{\circ }\end{array}$  

 

$c)$  

W tym przypadku:

$z=8m$   

$v_0=10\frac{m}{s}$  

Korzystamy z tego samego układu równań co w poprzednim podpunkcie:

$\{\begin{array}{l}z=\frac{v_0^2}{g}\sin 2\alpha \\ h_{\text{max}}=\frac{v_0^2}{2g}{\sin }^2\alpha \end{array}$  

Podstawiamy dane liczbowe do układu równań z pominięciem podstawowych jednostek SI:

$\{\begin{array}{l}8=\frac{{\left(10\right)}^2}{10}\cdot \sin 2\alpha \\ h_{\text{max}}=\frac{{\left(10\right)}^2}{2\cdot 10}\cdot {\sin }^2\alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}8=\frac{100}{10}\cdot \sin 2\alpha \\ h_{\text{max}}=\frac{100}{20}\cdot {\sin }^2\alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}8=10\cdot \sin 2\alpha \mid :10\\ h_{\text{max}}=5\cdot {\sin }^2\alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0,8=\sin 2\alpha \\ h_{\text{max}}=5\cdot {\sin }^2\alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\sin 2\alpha =0,8\\ h_{\text{max}}=5\cdot {\sin }^2\alpha \end{array}$  

Rozważmy sinus podwojonego kąta α:

$\sin 2\alpha =0,8$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych otrzymujemy, że:

$2\alpha \approx {53}^{\circ }\mid :2$  

$\alpha \approx {26,5}^{\circ }$  

$\alpha \approx {27}^{\circ }$  

Wracając do naszego układu równań wówczas otrzymujemy, że:  

$\{\begin{array}{l}\alpha ={27}^{\circ }\\ h_{\text{max}}=5\cdot {\sin }^2\alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\alpha ={27}^{\circ }\\ h_{\text{max}}=5\cdot {\left(\sin {27}^{\circ }\right)}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\alpha ={27}^{\circ }\\ h_{\text{max}}=5\cdot {\left(0,454\right)}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\alpha ={27}^{\circ }\\ h_{\text{max}}\approx 5\cdot 0,2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\alpha ={27}^{\circ }\\ h_{\text{max}}\approx 1\end{array}$  

Pamiętając o pominiętych jednostkach otrzymujemy, że:

$\{\begin{array}{l}\alpha ={27}^{\circ }\\ h_{\text{max}}\approx 1m\end{array}$