Tenisista uderza rakietą w piłkę...- Zadanie Zadanie 9.6*: Fizyka 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$v_{0} = 8 \frac{m}{s}$

$α = 3 0^{\circ}$

$h = 120 cm = 1, 2 m$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g = 10 \frac{m}{s ^{2}}$ .

$a)$

Szukane:

$d = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest zbadanie, w jakiej odległości od tenisisty upadnie piłka. Mamy do czynienia z ruchem ciała w dwóch wymiarach. Odbita piłka porusza się, jak ciało w rzucie ukośnym.

Wykonajmy rysunek pomocniczy przedstawiający sytuację opisaną w zadaniu:

gdzie:

$h$ - wysokość nad podłożem, na której odbito piłkę,

$h_{max}$ - wysokość maksymalna osiągnięta przez piłkę w rzucie ukośnym,

$H_{max}$ - wysokość maksymalna piłki względem podłoża,

$v_{0}$ - wartość początkowa prędkości nadanej piłce,

$v_{x 0}$ - pozioma składowa prędkości początkowej,

$v_{y 0}$ - pionowa składowa prędkości początkowej,

$v_{x}$ - prędkość pozioma piłki w jej maksymalnej wysokości,

$x_{1}$ - odległość od miejsca odbicia piłki do chwili uzyskania najwyższego punktu,

$x_{2}$ - odległość od najwyższego punktu do miejsca upadku piłki.

Ruch piłki rozważymy na dwóch etapach:

▶ 1 - od miejsca odbicia do miejsca uzyskania największej wysokości nad podłożem,

▶ 2 - od miejsca uzyskania największej wysokości nad podłożem do miejsca uderzenia w ziemię.

Piłka najpierw będzie poruszała się jak w rzucie ukośnym, a w momencie gdy osiągnie maksymalna wysokość będzie poruszała się jak w rzucie poziomym.

Rozważmy etap 1:

W rzucie ukośnym zasięg rzutu ciała przedstawiamy zależnością:

$z_{u} = \frac{2 v _{0}^{2} sin α cos α}{g}$

gdzie:

$z_{u}$ - zasięg rzutu ukośnego,

$v_{0}$ - szybkość początkowa nadana rzucanemu ciału,

$α$ - kąt do poziomu, pod jakim wyrzucono ciało,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Odległość od miejsca odbicia do miejsca uzyskania największej wysokości nad podłożem będzie odpowiadała połowie zasięgu rzutu ukośnego:

$x_{1} = \frac{1}{2} z_{u}$

$x_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 v _{0}^{2} sin α cos α}{g}$

$x_{1} = \frac{v _{0}^{2} sin α cos α}{g}$

Rozważmy etap 2:

Wysokość maksymalną, na jaką może wzbić się ciało w rzucie ukośnym przedstawiamy wzorem:

$h_{max} = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} α}{2 g}$

gdzie:

$h_{max}$ - maksymalna wysokość, na jaką może wzbić się ciało.

Wówczas maksymalna wysokość z jakiej spada ta piłka w rzucie poziomym będzie miała postać:

$H_{max} = h_{max} + h$

Zasięg rzutu poziomego możemy obliczyć korzystając z wzoru:

$z_{p} = v_{x} \frac{2 H _{m a x}}{g}$

gdzie:

$z_{p}$ - zasięg rzutu,

$v_{x}$ - wartość prędkości początkowej, z jaką wyrzucono ciało - odpowiada wartości prędkości, jaką miała piłka tenisowa na maksymalnej wysokości,

$H_{m a x}$ - maksymalna wysokość, z jakiej wyrzucono ciało.

Ponieważ rozważamy rzut ukośny to oznacza, że:

$v_{x} = v_{x 0}$

Z rysunku wynika, że:

$\frac{v _{0 x}}{v _{0}} = cos α ∣ \cdot v_{0}$

$v_{0 x} = v_{0} cos α$

Odległość od najwyższego punktu do miejsca upadku piłki będzie zatem wynosiła:

$x_{2} = z_{p}$

$x_{2} = v_{x} \frac{2 H _{max}}{g}$

$x_{2} = v_{0 x} \frac{2 ( h _{max} + h )}{g}$

$x_{2} = v_{0} cos α \frac{2 h _{max}}{g} + \frac{2 h}{g}$

$x_{2} = v_{0} cos α \frac{2 \cdot \frac{v _{0}^{2} s i n ^{2} α}{2 g}}{g} + \frac{2 h}{g}$

$x_{2} = v_{0} cos α \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} α}{g ^{2}} + \frac{2 h}{g}$

$x_{2} = v_{0} cos α \frac{1}{g ^{2}} (v_{0}^{2} sin^{2} α + 2 g h)$

$x_{2} = \frac{v _{0}}{g} cos α v_{0}^{2} sin^{2} α + 2 g h$

Oznacza to, że odległość w jakiej piłka tenisowa upadnie będzie miała postać:

$d = x_{1} + x_{2}$

$d = \frac{v _{0}^{2} sin α cos α}{g} + \frac{v _{0}}{g} cos α v_{0}^{2} sin^{2} α + 2 g h$

$d = \frac{v _{0}}{g} [v_{0} sin α cos α + cos α v_{0}^{2} sin^{2} α + 2 g h]$

$d = \frac{v _{0}}{g} [v_{0} sin α cos α + cos α (v_{0} sin α)^{2} + 2 g h]$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d = \frac{8 \frac{m}{s}}{10 \frac{m}{s ^{2}}} \cdot [8 \frac{m}{s} \cdot sin 3 0^{\circ} \cdot cos 3 0^{\circ} + cos 3 0^{\circ} \cdot (8 \frac{m}{s} \cdot sin 3 0^{\circ})^{2} + 2 \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 1, 2 m] \approx$

$\approx 0, 8 s \cdot [8 \frac{m}{s} \cdot 0, 5 \cdot 0, 866 + 0, 866 \cdot (8 \frac{m}{s} \cdot 0, 5)^{2} + 24 \frac{m ^{2}}{s ^{2}}] =$

$= 0, 8 s \cdot [3, 464 \frac{m}{s} + 0, 866 \cdot (4 \frac{m}{s})^{2} + 24 \frac{m ^{2}}{s ^{2}}] =$

$= 0, 8 s \cdot [3, 464 \frac{m}{s} + 0, 866 \cdot 16 \frac{m ^{2}}{s ^{2}} + 24 \frac{m ^{2}}{s ^{2}}] =$

$= 0, 8 s \cdot [3, 464 \frac{m}{s} + 0, 866 \cdot 40 \frac{m ^{2}}{s ^{2}}] \approx$

$\approx 0, 8 s \cdot [3, 464 \frac{m}{s} + 0, 866 \cdot 6, 32456 \frac{m}{s}] =$

$= 0, 8 s \cdot [3, 464 \frac{m}{s} + 5, 47706896 \frac{m}{s}] =$

$= 0, 8 s \cdot 8, 94106896 \frac{m}{s} =$

$= 7, 152855168 m \approx 7 m$

Odpowiedź: Piłka upadnie w odległości około 7 m od tenisisty.

$b)$

Szukane:

$t = ?$

Rozwiązanie:

Czas wznoszenia się ciała, w rzucie ukośnym, na maksymalną wysokość odpowiada połowie całkowite czasu ruchu i możemy przedstawić go wzorem:

$t_{w} = \frac{v _{y 0}}{g}$

gdzie:

$t_{w}$ - czas wznoszenia się ciała w rzucie ukośnym,

$v_{y 0}$ - wartość składowej pionowej prędkości początkowej ciała w rzucie ukośnym,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Z rysunku z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$\frac{v _{y 0}}{v _{0}} = sin α ∣ \cdot v_{0}$

$v_{y 0} = v_{0} sin α$

Wówczas czas wznoszenia będzie wynosił:

$t_{w} = \frac{v _{0} sin α}{g}$

Wysokość nad poziomem przyjętym za początkowy, z jakiej spada ciało w rzucie poziomym przedstawiamy zależnością:

$H_{max} = \frac{1}{2} g t_{s}^{2}$

gdzie:

$H_{max}$ - wysokość, z jakiej spada ciało,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$t_{s}$ - całkowity czas spadku tego ciała.

Z tego wynika, że czas spadku z maksymalnej wysokości możemy przedstawić zależnością:

$\frac{1}{2} g t_{s}^{2} = H_{max} ∣ \cdot 2$

$g t_{s}^{2} = 2 H_{max} ∣ : g$

$t_{s}^{2} = \frac{2 H _{max}}{g}$

$t_{s} = \frac{2 H _{max}}{g}$

$t_{s} = \frac{2 ( h _{max} + h )}{g}$

$t_{s} = \frac{2 h _{m a x}}{g} + \frac{2 h}{g}$

$t_{s} = \frac{2 \cdot \frac{v _{0}^{2} s i n ^{2} α}{2 g}}{g} + \frac{2 h}{g}$

$t_{s} = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} α}{g ^{2}} + \frac{2 h}{g}$

$t_{s} = \frac{1}{g ^{2}} \cdot (v_{0}^{2} sin^{2} α + 2 g h)$

$t_{s} = \frac{1}{g} (v_{0} sin α)^{2} + 2 g h$

Wówczas otrzymujemy, że całkowity czas ruchu piłki wynosi:

$t = t_{w} + t_{s}$

$t = \frac{v _{0} sin α}{g} + \frac{1}{g} (v_{0} sin α)^{2} + 2 g h$

$t = \frac{1}{g} (v_{0} sin α + (v_{0} sin α)^{2} + 2 g h)$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t = \frac{1}{10 \frac{m}{s ^{2}}} \cdot (8 \frac{m}{s} \cdot sin 3 0^{\circ} + (8 \frac{m}{s} \cdot sin 3 0^{\circ})^{2} + 2 \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 1, 2 m) =$