Dane:

$m=0,5\text{kg}$

$F=15\text{N}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$k=?$

Rozwiązanie:

Naszym  zadaniem jest wyznaczenie, jaka część objętości piłki będzie wystawać ponad taflę wody, gdy przestanie działać dodatkowa siła. Szukaną część objętości możemy przedstawić jako iloraz wynurzonej części objętości do całkowitej objętości piłki:

$k=\frac{V_w}{V}$

gdzie:

$k$ - szukana część wynurzonej piłki, 

$V_w$ - objętość piłki, która jest wynurzona ponad taflę wody, 

$V$ - całkowita objętość piłki. 

Wykonajmy rysunek pomocniczy, na którym przedstawimy sytuację, gdy piłka będzie całkowicie zanurzona w wodzie:

gdzie:

${\vec{F}}_c$ - siła ciężkości piłki, 

$\vec{F}$ - dodatkowa siła, działająca na piłkę, która powodowała jej zanurzenie w wodzie, 

${\vec{F}}_{w.1}$ - siła wyporu działająca na piłkę, gdy jest ona całkowicie zanurzona w wodzie. 

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru: $F_c=mg$  gdzie: $F_c$ - wartość siły ciężkości, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

W naszym przypadku mamy piłkę o znanej masie. Siła wyporu będzie zależała od zanurzenia tej piłki w wodzie.

SIŁA WYPORU Siła wyporu działająca na ciało zanurzone w płynie jest skierowana pionowo do góry – przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało: $F_w=dgV$  gdzie:  $F_w$ - wartość siły wyporu, $d$ - gęstość cieczy, w której znajduje się ciało,   $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,   $V$ - objętość wypartej cieczy równa objętości części ciała zanurzonej w płynie.

Zatem dla piłki całkowicie zanurzonej w wodzie mamy:

$F_{w.1}=dgV$

gdzie:

$d$ - gęstość wody.

Nie znamy całkowitej objętości piłki. Zapiszmy równanie sił działających na piłkę całkowicie zanurzoną w wodzie i wyznaczmy z niego całkowitą objętość piłki:

$F_{w.1}=F_c+F$

$dgV=mg+F|:dg$

$V=\frac{mg+F}{dg}$

Rozważmy teraz kolejny przypadek, gdy dodatkowa piłka przestaje działać. Wówczas piłka nie będzie całkowicie zanurzona w wodzie, a działają na nią wyłącznie siła ciężkości i wyporu:

gdzie:

${\vec{F}}_{w.2}$ - siła wyporu działająca na piłkę częściowo zanurzoną w wodzie. 

Wartość siły wyporu dla tego przypadku możemy przedstawić wzorem:

$F_{w.2}=dg{V}_z$

gdzie:

$V_z$ - objętość części piłki zanurzonej w wodzie, która odpowiada objętości wypartej cieczy. 

Nas interesuje część piłki wynurzonej z wody. Całkowitą objętość piłki możemy przedstawić jako sumę pomiędzy objętością części piłki zanurzonej i objętością części piłki wynurzonej z wody:

$V=V_z+V_w$

Zatem objętość części piłki zanurzonej w wodzie ma postać:

$V_z+V_w=V|-V_w$

$V_z=V-V_w$

Zapisując równanie sił działających na piłkę, gdy nie działa na nią dodatkowa siła, otrzymamy:

$F_{w.2}=F_c$

$d\cancel{g}{V}_z=m\cancel{g}$

$d{V}_z=m$

Wyznaczmy objętość części piłki wynurzonej z wody:

$d\left(V-V_w\right)=m|:d$

$V-V_w=\frac{m}{d}|-V$

$-V_w=-V+\frac{m}{d}|\cdot \left(-1\right)$

$V_w=V-\frac{m}{d}$

$V_w=\frac{mg+F}{dg}-\frac{m}{d}$

$V_w=\frac{mg+F}{dg}-\frac{mg}{dg}$

$V_w=\frac{mg+F-mg}{dg}$

$V_w=\frac{F}{dg}$

Zatem część piłki jaka wystaje ponad taflę wody ma postać:

$k=\frac{V_w}{V}$

$k=\frac{\frac{F}{dg}}{\frac{mg+F}{dg}}$

$k=\frac{F}{dg}\cdot \frac{dg}{mg+F}$

$k=\frac{F}{\sout{dg}}\cdot \frac{\sout{dg}}{mg+F}$

$k=\frac{F}{mg+F}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$k=\frac{15\text{N}}{0,5\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}+15\text{N}}=$

$=\frac{15\text{N}}{5\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}+15\text{N}}=\frac{15\text{N}}{5\text{N}+15\text{N}}=$

$=\frac{15\text{N}}{20\text{N}}=\frac{3}{4}$

Odpowiedź: Część objętości piłki wystającej ponad powierzchnię wody to $\frac{3}{4}$.