Dane:

$r=4\text{cm}=4\cdot {10}^{-2}\text{m}$  

$d=0,6\text{mm}=0,6\cdot {10}^{-3}\text{m}=6\cdot {10}^{-4}\text{m}$  

$h=5,5\text{cm}=5,5\cdot {10}^{-2}\text{m}$  

$m_c=20\text{dag}=0,2\text{kg}$  

Z tablic możemy odczytać gęstość aluminium i wody:

${\rho }_a=2720\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

${\rho }_w=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

 

$a)$  

Szukane:

$H=?$  

Rozwiązanie:

Zacznijmy od obliczenia objętości całego pudełka. Wiemy, że jest ono walcem bez pokrywki o pewnej grubości $d$ . Narysujmy sobie jego przekrój poprzeczny:

Podstawą puszki będzie koło o powierzchni $\pi r^2$  oraz grubości $d$ , czyli jego objętość będzie wynosiła:

$V_{\text{podstawy}}=\pi r^{2}d$  

Natomiast ściana boczna po rozłożeniu będzie prostokątem o bokach długości $2\pi r$  i $h-d$  oraz grubości $d$ , czyli objętość ściany walca wynosi:

$V_{\text{sˊciany}}=2\pi r\left(h-d\right)d$  

Z tego wynika, że objętość puszki aluminiowej wynosi:

$V_p=V_{\text{podstawy}}+V_{\text{sˊciany}}$  

$V_p=\pi r^{2}d+2\pi r\left(h-d\right)d$  

$V_p=\pi rd\left[r+2\left(h-d\right)\right]$  

Zatem korzystając z definicji gęstości możemy zapisać, że masa puszki wynosi:

$m={\rho }_a{V}_p$  

$m={\rho }_a\pi rd\left[r+2\left(h-d\right)\right]$  

Na puszkę zanurzoną w wodzie działa siła ciężkości ${\overrightarrow{F}}_g$  oraz przeciwnie do niej skierowana siła wyporu ${\overrightarrow{F}}_w$ . 

Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało:

$F_w=\rho gV$  

gdzie $\rho$  jest gęstością cieczy, w której znajduje się ciało, $g$  jest przyspieszeniem grawitacyjnym, $V$  jest objętością wypartej cieczy równą objętości części ciała zanurzonego w płynie. Zauważmy, że naszym przypadku objętość wypartej cieczy będzie wynosiła:

$V=\pi r^{2}H$  

Wówczas wartość siły wyporu przyjmie postać:

$F_w={\rho }_{w}g\pi r^{2}H$  

Wartość ciężaru puszki będzie wynosiła:

$F_g=mg$  

$F_g={\rho }_a\pi rd\left[r+2\left(h-d\right)\right]g$  

Zatem w równoważności tych sił otrzymujemy, że głębokość na jaką została zanurzona puszka wynosi:

$F_w=F_g$  

${\rho }_w\cancel{g\pi }{r}^{\cancel{2}}H={\rho }_a\cancel{\pi r}d\left[r+2\left(h-d\right)\right]\cancel{g}$  

${\rho }_{w}rH={\rho }_{a}d\left[r+2\left(h-d\right)\right]\mid :{\rho }_{w}r$  

$H=\frac{{\rho }_a}{{\rho }_w}\frac{d\left[r+2\left(h-d\right)\right]}{r}$  

$H=\frac{{\rho }_a}{{\rho }_w}d\frac{r+2\left(h-d\right)}{r}$  

$H=\frac{{\rho }_a}{{\rho }_w}d\left(1+2\frac{h-d}{r}\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$H=\frac{2720\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}{1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}\cdot 6\cdot {10}^{-4}\text{m}\cdot \left(1+2\cdot \frac{5,5\cdot {10}^{-2}\text{m}-6\cdot {10}^{-4}\text{m}}{4\cdot {10}^{-2}\text{m}}\right)=$  

$=2,72\cdot 6\cdot {10}^{-4}\text{m}\cdot \left(1+2\cdot \frac{5,5\cdot {10}^{-2}\text{m}-0,06\cdot {10}^{-2}\text{m}}{4\cdot {10}^{-2}\text{m}}\right)=$  

$=2,72\cdot 6\cdot {10}^{-4}\text{m}\cdot \left(1+2\cdot \frac{5,44\cdot {10}^{-2}\text{m}}{4\cdot {10}^{-2}\text{m}}\right)=$  

$=2,72\cdot 6\cdot {10}^{-4}\text{m}\cdot \left(1+2\cdot 1,36\right)=2,72\cdot 6\cdot {10}^{-4}\text{m}\cdot \left(1+2,72\right)=$  

$=2,72\cdot 6\cdot {10}^{-4}\text{m}\cdot 3,72=60,7104\cdot {10}^{-4}\text{m}=$  

$=0,607104\cdot {10}^{-2}\text{m}=0,607104\text{cm}\approx 0,6\text{cm}$  

 

$b)$  

Szukane:

Należy wykazać, czy pudełko utonie.

Rozwiązanie:

Dziecko wrzucając do pudełka cukierki o masie $m_c$  zwiększyło jego ciężar o:

$F_{g.c}=m_{c}g$  

Zauważmy zatem, że:

Załóżmy, że naczynie zanurzy się na pewną głębokość $H_2$ , czyli wówczas objętość wypartej cieczy będzie wynosiła:

$V_2=\pi r^2{H}_2$  

Wówczas siła wyporu będzie miała postać:

$F_w={\rho }_{w}g{V}_2$  

$F_w={\rho }_{w}g\pi r^2{H}_2$  

Musimy wyznaczyć, czy głębokość na jaką zanurzyło się pudełko $H_2$  jest większa, czyli mniejsza od wysokości tego pudełka $h$ . Z tego wynika, że:

$F_w=F_g+F_{g.c}$  

${\rho }_{w}g\pi r^2{H}_2={\rho }_a\pi rd\left[r+2\left(h-d\right)\right]g+m_{c}g\mid :g$  

${\rho }_w\pi r^2{H}_2={\rho }_a\pi rd\left[r+2\left(h-d\right)\right]+m_c\mid :{\rho }_w\pi r^2$  

$H_2=\frac{{\rho }_a\pi rd\left[r+2\left(h-d\right)\right]+m_c}{{\rho }_w\pi r^2}$  

$H_2=\frac{{\rho }_a\pi rd\left[r+2\left(h-d\right)\right]}{{\rho }_w\pi r^2}+\frac{m_c}{{\rho }_w\pi r^2}$  

$H_2=\frac{{\rho }_{a}d\left[r+2\left(h-d\right)\right]}{{\rho }_{w}r}+\frac{m_c}{{\rho }_w\pi r^2}$  

$H_2=\frac{{\rho }_a}{{\rho }_w}d\left(1+2\frac{h-d}{r}\right)+\frac{m_c}{{\rho }_w\pi r^2}$  

$H_2=H+\frac{m_c}{{\rho }_w\pi r^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$H_2=0,607104\text{cm}+\frac{0,2\text{kg}}{1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 3,14\cdot {\left(4\cdot {10}^{-2}\text{m}\right)}^2}=$  

$=0,607104\text{cm}+\frac{0,2\text{kg}}{{10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 3,14\cdot 16\cdot {10}^{-4}{\text{m}}^2}=$  

$=0,607104\text{cm}+\frac{0,2\text{kg}}{50,24\cdot {10}^{-1}\frac{\text{kg}}{\text{m}}}=$  

$=0,607104\text{cm}+\frac{0,2\text{kg}}{5,024\frac{\text{kg}}{\text{m}}}\approx$  

$=0,6\text{cm}+0,0398\text{m}=$  

$=0,6\text{cm}+3,98\text{cm}=4,58\text{cm}$  

Ponieważ:

$H_2<h$  

To oznacza, że pudełko nie utonie.