Drewnianą, jednorodną belkę o masie M = 5 kg i długości...- Zadanie 6.6.13.: Zrozumieć fizykę 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

UWAGA! W zbiorze zadań wystąpił błąd w druku. Na stronie 262 zadaniu nie nadano numeru, a według odpowiedzi powinno mieć ono numer 6.6.4. W związku z tym numeracja pozostałych zadań przesunęła się, tak jak podano w odpowiedziach w tym zbiorze zadań.

Dane:

$M = 5 kg$

$m = 20 g = 0, 02 kg$

$l = 1 m$

$v_{1} = 500 \frac{m}{s}$

$v_{2} = 200 \frac{m}{s}$

Szukane:

$ω = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości prędkości kątowej belki tuż po przestrzeleniu jej pociskiem. W treści zadania opisany mamy pocisk, który leci na swobodny koniec jednorodnej belki. Belka zamocowana jest za drugi koniec przez co może się ona obracać. Wygląda to następująco:

gdzie:

$l$ - długość belki,

$v_{1}$ - prędkość pocisku przed uderzeniem w belkę.

W pewnym momencie pocisk przebija belkę i porusza się dalej, ale z prędkością, której wartość jest mniejsza od wartości prędkości początkowej. W wyniku uderzenia belka obraca się:

gdzie:

$v_{2}$ - prędkość pocisku po przebiciu belki,

$ω$ - prędkość kątowa belki nabyta w wyniku uderzenia pocisku.

Mamy układ, w którym znajduje się belka i pocisk. Mamy również do czynienia z ruchem obrotowym belki dlatego skorzystamy z zasady zachowania momentu pędu. Zgodnie z tą zasadą wartość momentu pędu układu nie zmienia się:

$L_{1} = L_{2}$

gdzie:

$L_{1}$ - wartość momentu pędu układu przez przebiciem belki,

$L_{2}$ - wartość momentu pędu układu po przebiciu belki.

W naszym przypadku na moment pędu układu składa się moment pędu belki i pocisku. W chwili tuz przed i zaraz po przebiciu belki możemy przyjąć, że pocisk znajduje się w odległości równej długości belki od osi obrotu. Belka początkowo jest nieruchoma.

WARTOŚĆ MOMENTU PĘDU

Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$L = I ω$

gdzie:

$L$ - wartość momentu pędu,

$I$ - moment bezwładności ciała poruszającego się względem pewnej osi obrotu,

$ω$ - wartość prędkości kątowej, z jaką porusza się ciało.

Wartość momentu pędu pocisku przed uderzeniem w belkę będzie miała postać:

$L_{p .1} = I_{p} ω_{1}$

gdzie:

$L_{p .1}$ - wartość momentu pędu pocisku przed uderzeniem w belkę,

$I_{p}$ - moment bezwładności pocisku,

$ω_{1}$ - początkowa szybkość kątowa pocisku względem osi obrotu belki.

Belka jest początkowo nieruchoma, dlatego jej moment pędu jest początkowo zerowy:

$L_{b .1} = 0$

gdzie:

$L_{b .1}$ - początkowa wartość momentu pędu belki.

Po tym, jak pocisk przeszedł przez belkę zmieniła się jego szybkość. Zatem wartość momentu pędu pocisku po przebiciu deski możemy przedstawić wzorem:

$L_{p .2} = I_{p} ω_{2}$

gdzie:

$L_{p .2}$ - wartość momentu pędu pocisku po tym, jak przebił belkę,

$ω_{2}$ - szybkość kątowa pocisku względem osi obrotu belki po przebiciu jej.

Belka odchyla się od początkowego położenia, czyli jej wartość momentu pędu ma postać:

$L_{b .2} = I ω$

gdzie:

$L_{b .2}$ - wartość momentu pędu belki po tym, jak przebije ją pocisk,

$I$ - moment bezwładności belki względem osi obrotu znajdującej się na jednym z jej końców,

$ω$ - wartość prędkości kątowej belki tuż po przestrzeleniu jej pociskiem (szukana).

Pocisk możemy potraktować jak punkt materialny.

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - PUNKT MATERIALNY

Moment bezwładności ciała punktowego obracającego się wokół pewnej osi ma postać:

$I = m r^{2}$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności punktu materialnego,

$m$ - masa ciała,

$r$ - odległość ciała od osi obrotu.

Zatem dla pocisku, który względem osi obrotu znajduje się w odległości równej długości belki otrzymamy:

$I_{p} = m l^{2}$

gdzie:

$m$ - masa pocisku.

W treści zadania podane mamy, że moment bezwładności belki ma postać:

$I = \frac{1}{3} M l^{2}$

gdzie:

$M$ - masa belki.

SZYBKOŚĆ KĄTOWA A LINIOWA

Zależność szybkości kątowej od szybkości liniowej przedstawiamy wzorem:

$ω = \frac{v}{r}$

gdzie:

$ω$ - szybkość kątowa,

$v$ - szybkość liniowa,

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Z tego wynika, że wartości prędkości kątowych pocisku przed i po uderzeniu w belkę mają postać:

$ω_{1} = \frac{v _{1}}{l}$

$ω_{2} = \frac{v _{2}}{l}$

Korzystając z powyższych zależności wartość momentu pędu układu przed uderzeniem w belkę możemy przedstawić wzorem:

$L_{1} = L_{p .1} + L_{b .1}$

$L_{1} = I_{p} ω_{1} + 0$

$L_{1} = m l^{2} \cdot \frac{v _{1}}{l}$

$L_{1} = m l v_{1}$

Natomiast po uderzeniu pocisku w belkę wartość momentu pędu układu przedstawimy wzorem:

$L_{2} = L_{p .2} + L_{b .2}$

$L_{2} = I_{p} ω_{2} + I ω$

$L_{2} = m l^{2} \cdot \frac{v _{2}}{l} + \frac{1}{3} M l^{2} ω$

$L_{2} = m l v_{2} + \frac{1}{3} M l^{2} ω$

Korzystając z równania wynikającego z zasady zachowania momentu pędu wyznaczamy wartość prędkości kątowej belki po przebiciu jej pociskiem:

$L_{2} = L_{1}$

$m l v_{2} + \frac{1}{3} M l^{2} ω = m l v_{1} ∣ - m l v_{2}$

$\frac{1}{3} M l^{2} ω = m l v_{1} - m l v_{2}$

$\frac{1}{3} M l^{2} ω = m l (v_{1} - v_{2}) ∣ \cdot 3$

$M l^{2} ω = 3 m l (v_{1} - v_{2}) : M l^{2}$

$ω = \frac{3 m l ( v _{1} - v _{2} )}{M l ^{2}}$

$ω = \frac{3 m ( v _{1} - v _{2} )}{M l}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$ω = \frac{3 \cdot 0 , 02 kg \cdot ( 500 \frac{m}{s} - 200 \frac{m}{s} )}{5 kg \cdot 1 m} =$

$= \frac{0 , 06 kg \cdot 300 \frac{m}{s}}{5 kg \cdot m} = \frac{18}{5} \frac{1}{s} = 3, 6 \frac{1}{s}$

Mamy tutaj do czynienia z wartością prędkości kątowej, którą przyjęło się podawać przy pomocy radianów na sekundę. Należy pamiętać, że radiany są jednostką bezwymiarową, czyli stosunkiem wielkości długości łuku do długości łuku do długości promienia. Możemy zapisać, że:

$ω \approx 3, 6 \frac{rad}{s}$