UWAGA! W zbiorze zadań wystąpił błąd w druku. Na stronie 262 zadaniu nie nadano numeru, a według odpowiedzi powinno mieć ono numer 6.6.4. W związku z tym numeracja pozostałych zadań przesunęła się, tak jak podano w odpowiedziach w tym zbiorze zadań.

 

Dane:

$m_1=5,97\cdot 10^{24}\text{kg}$

$r_a=1,15\cdot 10^5\text{m}$

$v_a=5,88\cdot 10^4\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$r_p=1,05\cdot 10^5\text{m}$

Szukane:

$v_p=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości prędkości liniowej księżyca w najbliższej odległości od planety, przy założeniu, że księżyc krąży wokół nieruchomej planety. Księżyc krążący wokół planety zmienia swoją odległość od niej, ponieważ porusza się po orbicie eliptycznej. Ruch księżyca wokół planety możemy potraktować jako ruch punktu materialnego względem osi obrotu. Oznacza to, że moment bezwładności księżyca zmienia się wraz z odległością od planet, wokół której krąży. 

Zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu, nie zmienia się natomiast wartość momentu pędu, czyli możemy zapisać równanie:

$L_p=L_a$

gdzie:

$L_p$ - wartość momentu pędu księżyca znajdującego się w perycentrum, 

$L_a$ - wartość momentu pędy księżyca znajdującego się w apocentrum. 

WARTOŚĆ MOMENTU PĘDU Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru: $L=I\omega$ gdzie: $L$ - wartość momentu pędu, $I$ - moment bezwładności ciała poruszającego się względem pewnej osi obrotu,  $\omega$ - wartość prędkości kątowej, z jaką porusza się ciało.

Księżyc możemy potraktować jak punkt materialny. 

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - PUNKT MATERIALNY Moment bezwładności ciała punktowego obracającego się wokół pewnej osi ma postać: $I=m{r}^2$ gdzie: $I$ - moment bezwładności punktu materialnego, $m$ - masa ciała, $r$ - odległość ciała od osi obrotu.

Zatem moment bezwładności księżyca znajdującego się w perycentrum ma postać:

$I_p=m{r}_p^2$

gdzie:

$I_p$ - moment bezwładności księżyca znajdującego się w perycentrum, 

$m_2$ - masa księżyca, 

$r_p^{}$ - odległość księżyca od planety w perycentrum.

Natomiast księżyca znajdującego się w apocentrum ma postać:

$I_a=m_2{r}_a^2$

gdzie:

$I_a$ - moment bezwładności księżyca znajdującego się w apocentrum, 

$r_a$ - odległość księżyca od planety w apocentrum.

Nas interesuje wartość prędkości liniowej, a moment bezwładności zdefiniowany jest za pomocą wartości prędkości kątowej. Znamy związek pomiędzy nimi. 

SZYBKOŚĆ KĄTOWA A LINIOWA Zależność szybkości kątowej od szybkości liniowej przedstawiamy wzorem: $\omega =\frac{v}{r}$ gdzie: $\omega$ - szybkość kątowa,  $v$ - szybkość liniowa,  $r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Wówczas dla księżyca znajdującego się w perycentrum mamy:

${\omega }_p=\frac{v_p}{r_p}$

gdzie:

${\omega }_p$ - wartość prędkości kątowej księżyca w perycentrum, 

$v_p$ - wartość prędkości liniowej księżyca znajdującego się w perycentrum (szukana). 

Natomiast dla księżyca znajdującego się w apocentrum mamy:

${\omega }_a=\frac{v_a}{r_a}$

gdzie:

${\omega }_a$ - wartość prędkości kątowej księżyca w apocentrum, 

$v_p$ - wartość prędkości liniowej księżyca w apocentrum. 

Wartość momentu pędu księżyca znajdującego się w perycentrum będzie miała postać:

$L_p=I_p{\omega }_p$

$L_p=m_2{r}_p^{\cancel{2}}\cdot \frac{v_p}{\cancel{r_p}}$

$L_p=m_2{r}_p{v}_p$

Wartość momentu pędu księżyca znajdującego się w apocentrum będzie miała postać:

$L_a=I_a{\omega }_a$

$L_a=m_2{r}_a^{\cancel{2}}\cdot \frac{v_a}{\cancel{r_a}}$

$L_a=m_2{r}_a{v}_a$

Korzystając z równania wynikającego z zasady zachowania momentu pędu wyznaczamy wartość prędkość liniową księżyca znajdującego się w perycentrum:

$L_p=L_a$

$\cancel{m_2}{r}_p{v}_p=\cancel{m_2}{r}_a{v}_a$

$r_p{v}_p=r_a{v}_a|:r_p$

$v_p=\frac{r_a}{r_p}\cdot v_a$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_p=\frac{1,15\cdot \cancel{10^5\text{m}}}{1,05\cdot \cancel{10^5\text{m}}}\cdot 5,88\cdot 10^4\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=\frac{115}{105}\cdot 5,88\cdot 10^4\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=\frac{676,2}{105}\cdot 10^4\frac{\text{m}}{\text{s}}=6,44\cdot 10^4\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=64,4\cdot 10^3\frac{\text{m}}{\text{s}}=64,4\frac{\text{km}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Wartość prędkości liniowej księżyca w perycentrum wynosi $6,44\cdot 10^4\frac{\text{m}}{\text{s}}$, czyli $64,4\frac{\text{km}}{\text{s}}$.