UWAGA! W zbiorze zadań wystąpił błąd w druku. Na stronie 262 zadaniu nie nadano numeru, a według odpowiedzi powinno mieć ono numer 6.6.4. W związku z tym numeracja pozostałych zadań przesunęła się, tak jak podano w odpowiedziach w tym zbiorze zadań.

 

Dane:

$m=65\text{kg}$  

$M=90\text{kg}$  

$t=1\text{min}=60\text{s}$  

$r=1\text{m}$  

$R=1,5\text{m}$  

$v=5,4\frac{\text{km}}{\text{h}}=5,4\cdot \frac{1000\text{m}}{3600\text{s}}=1,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Szukane:

${\omega }_p=?$  

$n=?$  

Rozwiązanie:

Początkowo człowiek porusza się wzdłuż brzegu platformy z szybkością liniową $v$ . Zatem jego początkową szybkość kątową możemy wyrazić jako:

${\omega }_0=\frac{v}{r}$  

Platforma wraz z człowiekiem obraca się względem osi przechodzącej przez jej środek ciężkości. Uczeń znajduje się w pewnej odległości $r$  od osi obrotu, czyli możemy przyjąć, że jego środek ciężkości znajduje się w tej odległości i wówczas traktujemy go jak ciało punktowe. Zatem moment bezwładności ucznia będzie miał postać:

$I_u=m{r}^2$  

Wiemy, że moment bezwładności platformy ma postać:

$I_p=\frac{1}{2}M{R}^2$  

Zatem początkowy moment pędu ucznia będzie miał postać:

$L_{u.0}=I_u{\omega }_0$  

$L_{u.0}=m{r}^2\frac{v}{r}$  

$L_{u.0}=mrv$  

Natomiast początkowy moment pędu platformy będzie zerowy, ponieważ początkowo nie porusza się:

$L_{p.0}=0$  

Gdy platforma będzie się poruszała z naszą szukaną szybkością kątową to moment pędu ucznia będzie miał postać:

$L_u=I_u{\omega }_p$  

$L_u=m{r}^2{\omega }_p$  

Natomiast moment pędu platformy będzie wynosił:

$L_p=I_p{\omega }_p$  

$L_p=\frac{1}{2}M{R}^2{\omega }_p$  

Zatem korzystając z zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy, że:

$L_p+L_u=L_{p.0}+L_{u.0}$  

$\frac{1}{2}M{R}^2{\omega }_p+m{r}^2{\omega }_p=0+mrv$  

$\left(\frac{1}{2}M{R}^2+m{r}^2\right){\omega }_p=mrv\mid :\left(\frac{1}{2}M{R}^2+m{r}^2\right)$  

${\omega }_p=\frac{mrv}{\frac{1}{2}M{R}^2+m{r}^2}$  

${\omega }_p=\frac{mrv}{\frac{1}{2}\left(M{R}^2+2m{r}^2\right)}$  

${\omega }_p=\frac{2mrv}{M{R}^2+2m{r}^2}$  

Znając szybkość obrotów platformy możemy zapisać, że kąt jaki zakreśli w podanym czasie będzie wynosił:

$\alpha ={\omega }_{p}t$  

Wiemy, że jeden obrót odpowiada jednemu pełnemu kątowi. Zatem liczba obrotów wykonana przez platformę będzie ilorazem całkowitego kąta przez nią zakreślonego do miary kąta pełnego:

$n=\frac{\alpha }{2\pi }$  

$n=\frac{{\omega }_{p}t}{2\pi }$  

$n=\frac{\frac{2mrv}{M{R}^2+2m{r}^2}t}{2\pi }$  

$n=\frac{2mrvt}{2\pi \left(M{R}^2+2m{r}^2\right)}$  

$n=\frac{mrvt}{\pi \left(M{R}^2+2m{r}^2\right)}$  

Otrzymaliśmy zatem wzory:

${\omega }_p=\frac{2mrv}{M{R}^2+2m{r}^2}$  

$n=\frac{2mrvt}{2\pi \left(M{R}^2+2m{r}^2\right)}$  

Podstawiamy dane liczbowe do otrzymanych wzorów:

${\omega }_p=\frac{2\cdot 65\text{kg}\cdot 1\text{m}\cdot 1,5\frac{\text{m}}{\text{s}}}{90\text{kg}\cdot {\left(1,5\text{m}\right)}^2+2\cdot 65\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}\right)}^2}=$  

$=\frac{195\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}}{90\text{kg}\cdot 2,25{\text{m}}^2+2\cdot 65\text{kg}\cdot 1{\text{m}}^2}=$  

$=\frac{195\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}}{202,5\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+130\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}=$  

$=\frac{195\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}}{332,5\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}\approx$  

$\approx 0,586466\frac{\text{rad}}{\text{s}}\approx 0,59\frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

$n=\frac{65\text{kg}\cdot 1\text{m}\cdot 1,5\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 60\text{s}}{3,14\cdot \left(90\text{kg}\cdot {\left(1,5\text{m}\right)}^2+2\cdot 65\text{kg}\cdot {\left(1\text{m}\right)}^2\right)}=$  

$=\frac{5850\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{3,14\cdot \left(90\text{kg}\cdot 2,25{\text{m}}^2+2\cdot 65\text{kg}\cdot 1{\text{m}}^2\right)}=$  

$=\frac{5850\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{3,14\cdot \left(202,5\text{kg}\cdot {\text{m}}^2+130\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\right)}=$  

$=\frac{5850\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{3,14\cdot 332,5\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}=$  

$=\frac{5850\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{1044,05\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}=$  

$\approx 5,6$  

Odpowiedź: Prędkość kątowa platformy wynosi około 0,59 ^rad/_s. Platforma wykonała około 5,6 obrotu.